1. Ідентифікація моделі часового ряду.

2. Оцінювання параметрів моделі.

3. Діагностика побудованої моделі (перевірка адекватності побудованої моделі та можливості її використання для прогнозування).

Ідентифікація моделі - визначення моделі із мінімальною кількістю параметрів. Складається із виконання двох відносно незалежних процедур.

1) Аналіз стаціонарності процесу і визначення порядку − оператора послідовних різниць переходу до стаціонарності, .

З'ясування стаціонарності часового ряду здійснюють за допомогою методів, розглянутих у розділі 1 частини 2 [1]. У разі не стаціонарності ряду для визначення порядку різницевого оператора можна скористатися емпіричним критерієм, сутність якого полягає у тому, що знаходять такі значення d, за якими вираз

де − середнє значення стаціонарного процесу , , буде мінімальним. Величина критерію зі збільшенням значення d зменшуватиметься доти, доки різницевий оператор не стане стаціонарним. Подальше підвищення порядку d різницевого оператора спричинить лише зростання дисперсії, а отже, збільшення її.

Систематичну складову можна також виключити з ряду, оцінивши її за методом найменших квадратів або будь-яким іншим методом згладжування часового ряду.

2) Вибір параметрів р і q у моделі , яка описує стаціонарний ряд як процес авторегресії та ковзної середньої. На цьому етапі вельми корисними є графічні методи, а також порівняння авто­кореляційної та часткової авто­кореляційної функції із відповідними функціями відомих ARMA-процесів, наведених у табл. 3.5.1.

Таблиця 3.5.1

Характеристики -моделей

Модель	АКФ	ЧАКФ
Білий шум	всі нулі	всі нулі
МА(1)	нулі після 1	спадна після 11
МА(2)	нулі після 2	спадна після 22
МА(q)	нулі після q	спадна після qq
AR(1)	геометричнo спадна після 1	нулі після 11
AR(2)	геометричнo спадна після 2	нулі після 22
AR(p)	геометричнo спадна після р	нулі після рр
(1,1)	геометричнo спадна після 1	спадна після 11
(p, q)	геометричнo спадна після р	спадна після qq

Оцінювання параметрів моде­лі. Процедура обчислення коефіцієнтів розглядається тільки для стаціонарної -моделі. Цю модель пристосовують до даних спостережень шляхом знаходження оцінок параметрів та .

Параметри -моделі можуть бути оцінені за допомогою звичайного методу найменших квадратів (виходять зсунуті, але консистентні оцінки), та його не можна застосувати до або моделей. Наприклад, для -моделі неможливо оцінити параметри користуючись лише спостереженнями , оскільки невідомі значення параметрів для розрахунку . Метод максимальної правдоподібності уможливлює отримання консистентних та асимптотично ефективних оцінок коефіцієнтів для будь-якої моделі.

Діагностика моделі. Після знаходження оцінок параметрів перевіряють точність та адекватність побудованої мо­делі. Існує кілька різновидів критеріїв, що ви­значають значущість та стійкість параметрів, властивості залишків і придатність моделі для прогнозування.

Усі теоретичні моделі містять випадкову компоненту, тож, якщо оцінена модель ко­ректна, залишки мають бути “білим шумом”. Для цього обчислюють АКФ та ЧАКФ залишків і перевіряють їхню статистичну значущість за критеріями. Інший критерій розглядає розподіл залишків, який вважають нормальним у разі малої вибірки.

Коли задовільними виявляються кілька моделей, використовують принцип ощадливості, за яким обирається мо­дель із найменшою кількістю параметрів. Для використання цього принципу за числовими критеріями, які наведені в табл. 3.5.2, формалізується правило компромісу між точністю пристосування моделі та кількістю її параметрів.

Таблиця 3.5.2

Числові критерії

Назва критерію	Формула підрахунку	Бажаний екстремум
Коефіцієнт детермінації		1
Скоригований коефіцієнт детермінації		1
Інформаційний критерій Акаїке ( )		Min
Інформаційний критерій Шварца-Ріссанена ( )		Min
Критерій Ханнана-Квіна ( )		Min
Прогнозовий критерій ( )		Min

Прогнозування процесів авторегресії й інтегрованої ковзної середньої (ARIMA- процесів).

В моделях, під час прогнозування значення змінної для майбутнього моменту часу, лагові значення цієї змінної, які слугують пояснюючими змінними (регресорами) моделі, можна розглядати або фіксованими на вибіркових значеннях, або випадковими. Перша можливість призводить до умовного прогнозу, на кшталт множинної регресії, друга - до безумовного прогнозу. Точність умовного прогнозу завжди вища.

Для досягнення мінімуму середньоквадратичної помилки (MSE), потрібно взяти умовне математичне сподівання: .

Прогноз за моделлю : . Якщо коефіцієнти моделі точно відомі і є значення для , то безумовним точковим прогнозом для будь-якого моменту часу буде математичне сподівання процесу, тобто . Для знаходження умовного точкового прогнозу усі майбутні замінюються нулями, а минулі – залишками. Починаючи із кроку ( ) умовний прогноз є математичним сподіванням , тобто умовний прогноз збігається із безумовним.

Наприклад, умовним прогнозом, зробленим у момент часу на період є:

Похибка підраховується за формулою

У випадку процесу прогнозом на один період випередження є , для решти періодів , .

Прогноз за моделлю : . Для прогнозу на один крок вперед можна записати:

.

Тобто у рівняння моделі підставляють минулих значень реалізації часового ряду.

Для прогнозу на два кроки вперед одержують:

= .

Математичне сподівання від випадкової похибки знов дасть 0, умовне математичне сподівання від дорівнює цим самим значенням, але до цього виразу входить умовне математичне сподівання від , яке отримане на попередньому кроці. Отже розглядають рекурентне співвідношення, яке пов’язує послідовні значення прогнозу. Наприклад, для моделі без вільного члена прогноз на один крок упередження становить: . Для прогнозу на 2 кроки відповідно отримуємо: .

Похибка прогнозу дорівнює

Очевидно, що дисперсія похибки прогнозу збільшується із кожним кроком. За допомогою часових рядів можна будувати інтервал, куди повинне попасти реальне значення у відповідний період часу з різним рівнем надійності. Основним припущенням є нормальність збурень ~ .

Нехай є рівнем надійності, тобто ймовірність попадання прогнозного значення у інтервал.

, де .

Значення константи наведене у наступній таблиці.

	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999
	1,28	1,64	1,96	2,57	3,29

Для загальної моделі потрібно об’єднати усе те, про що говорилося вище. За моделлю, підставляючи туди для часу спостереження та розраховані значення залишків, обчислюють прогнозовані значення , а для майбутніх моментів часу − замінюють залишки нулями і замість підставляють їхні прогнозовані значення. Дисперсію похибки прогнозу обчислюють за формулою .

В усіх розглянутих випадках умовний точковий прогноз асимптотично наближається до математичного сподівання ряду, а дисперсія похибки прогнозу - до дисперсії ряду. Це означає, що для стаціонарного процесу вплив наявної інформації на прогноз та його точність асимптотично спадає до нуля. До того ж при збільшенні горизонту прогнозування дисперсія похибки не перевищує дисперсії часового ряду. Цей висновок нажаль є наслідком нереалістичного припущення про те, що коефіцієнти моделі відомі точно.

Покажемо загальний принцип розрахунку прогнозу за -моделлю, яка означає, що первісний ряд є нестаціонарним та його зведено до стаціонарного ряду операцією різниць разів: . Тоді - модель цього ряду має вигляд:

.

Прогноз на один період випередження буде умовним математичним сподіванням значення :

.

Прогноз на два періоди випередження становитиме

.

Прогноз на періодів випередження набуває вигляду

.

Якщо та , то прогноз дорівнює:

.

Після того, як отримано прогнозні значення перетвореного часового ряду , знаходять прогнозні значення первісного ряду шляхом додавання разів.

Якщо має порядок інтеграції 1, тобто =1, тоді прогноз на періодів випередження для ряду дорівнюватиме

.

Якщо має порядок інтеграції 2, тобто =2, тоді прогноз на періодів випередження для ряду дорівнюватиме

.

Аналогічно можна отримати прогноз для ряду з порядком інтеграції .

3.5.2. Плани семінарських, практичних занять, лабораторних робіт та методичні вказівки до їх виконання

Завдання для практичного заняття №5 „ Прогнозування часових рядів за допомогою ARІMA(p,d,q)-моделі ” (2 год.).

Зробити короткостроковий прогноз за даними підібраного для дослідження часового ряду, використовуючи наступні кроки методики Бокса-Дженкінса:

1. Ідентифікувати часовий ряд, тобто визначити порядок його інтеграції - d, авторегресії - p і ковзної середньої - q.

2. Побудувати кілька придатних ARIMA-моделей, оцінити їх параметри.

3. Перевірити точність й адекватність підігнаних моделей та вибрати кращу з них.

4. На основі обраної моделі розрахувати прогноз на наступний рік.

5. Результати дослідження оформити письмово. Висновки робити на 5-% рівні значущості.