Задача №2.

Даны вершины A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) треугольника ABC. Требуется найти:

1. общее уравнение прямой AB;

2. общее уравнение прямой, на которой лежит высота CH и длинну этой высоты;

3. общее уравнение прямой, на которой лежит медиана AM;

4. точку N пересечения медианы AM и CH;

5. параметрическое уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

6. косинус внутреннего угла при вершине A.

Значения радикалов и отношений вычислить с точностью до второго знака.

A(10, 7), B(-8, -3), C(4, 3).

Решение:

1) Общее уравнение прямой имеет вид:

Ax + By + C = 0.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂):

Подставив в уравнение координаты точек A и B, получим:

.

2) CH в треугольнике ABC является его высотой, перпендикулярно опущенной из вершины C на сторону AB. Т.к. CH перепендикулярна AB, то их угловые коэффициены имеют соотношение .

Угловой коэффициент прямой через координаты 2х её различных точек

A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) определяется формулой:

Подставим в это уравнение координаты точек A и B:

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через данную точку H(x₁, y₁) имеет вид:

Подставим в это уравнение координаты точки С и :

Расстояние d от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляют по формуле:

Подставив в это уравнение координаты точки C и прямую AB, получим:

3) Из свойств треугольника известно, что медиана вышедшая из вершины треугольника делит сторону противолежающую этой вершине пополам. Т.е. точка M(x₃, y₃) лежит по середине стороны BC. Имея начальную и конечную точки

B(x₁, y₁, z₁) и C(x₂, y₂, z₂) прямой BC мы можем найти её центр:

Подставим в эту систему уравнений координаты точек B и C и получим:

Имея координаты начальной и конечной точек медианы АМ составим её уравнение:

4) При пересечении 2х прямых x + y + = 0 иx + y + = 0 на плоскости координаты точки их пересеченияN(x₀, y₀) можно найти по формулам:

Подставим в систему уравнений имеющиеся данные и получим:

N( - 2.25, - 0.15).

5) Параметрическое уравнение прямой выглядит следующим образом:

.

Т.к. вектора параллелен стороне, то мы можем использовать координаты направляющего вектора, который лежит на стороне.

= () = (.

Подставим в параметрическое уравнение координаты точки C и направляющего вектора :

.

6) Для нахождения косинуса внутреннего угла при вершине A необходимо записать уравнение прямой AC:

.

Т.к. обе наши прямые заданы общими уравнениями, то воспользуемся следующим выражением для нахождения угла между ними:

Задача №3.

Даны четыре точки A₁(x₁, y₁, z₁), A₂(x₂, y₂, z₂), A₃(x₃, y₃, z₃), A₄(x₄, y₄, z₄). Требуется найти:

1. уравнение плоскости A₁A₂A₃;

2. уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃;

3. расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃;

4. синус угла между прямой A₁A₄;

5. косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A₁A₂A₃;

A₁(0, -4, 6), A₂(-6, 2, -6), A₃(4, 4, 7), A₄(1, -5, 3).

Решение:

1) Общее уравнение плоскости имеет вид:

;

Уравнение плоскости, проходящей через три точки A₁ (x₁, y₁, z₁), A₂(x₂, y₂, z₂), A₃(x₃, y₃, z₃), вычисляется по формуле:

Подставим в это выражение имеющиеся координаты точек A₁, A₂, A₃:

Найдём определитель этой матрицы путём разложения по 1й строке:

A₁A₂A₃

2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) и проходящей через плоскость A₁A₂A₃ имеет вид:

. Нормальный вектор плоскости ;

Подставим имеющиеся координаты вектора и координаты точкиA₄ в уравнение:

- уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃;

3) Расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃ - это, длина перпендикуляра , опущенного из точки A₄ на плоскость A₁A₂A₃.

Расстояние от точки A₄ до поскости A₁A₂A₃ определяется по формуле:

Подставим имеющиеся данные в это уравнение:

4) Синус угла между прямой, заданной параметрическим уравнением

,

и плоскостью, заданной уравнением общего вида

Определяется выражением:

Найдём уравнение прямой A₁A₄:

Переходя от канонических уравнений к параметрическим, получаем:

Подставим имеющиеся данные в выражение для нахождения синуса угла между прямой и плоскостью:

.

5) Общим уравнением плоскости Oxy является выражение z=0 (0*x+0*y+z=0). Косинус угла межу плоскостями Oxy и A₁A₂A₃:

Подставим имеющиеся данные в это выражение:

.