Задача №5.

Проверить, совместна ли система уравнений, и в случае совместности решить её:

1. по формуле Крамера,

2. методом Гаусса.

Решение:

Для проверки совместности системы уравнений, необходимо составить матрицу и найти её определитель, если определитель не будет равен 0, то система совместна.

.

1) по формуле Крамера.

Система линейных уравнений имеет вид:

Определители:

, ,,

.

Неизвестные:

, ,.

Решим данную систему.

, ,

, .

Найдём эти определители:

.

.

.

, ,.

,

,

.

2) методом Гаусса.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:

Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):

где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (1).

Сформируем расширенную матрицу:

-5 -1 -2      -28 6 -4 7      108 1 6 7      -7

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на a1,1 =

-5

Получим матрицу:

1 1 5 2 5      28 5 6 -4 7      108 1 6 7      -7

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

6

Вычитаемая строка:

6 6 5 12 5      168 5

Модифицированная матрица:

1 1 5 2 5      28 5 0 -26 5 23 5      372 5 1 6 7      -7

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

1

Вычитаемая строка:

1 1 5 2 5      28 5

Модифицированная матрица:

1 1 5 2 5      28 5 0 -26 5 23 5      372 5 0 29 5 33 5      -63 5

Разделим строку 2 на a2,2 =

-26 5

Получим матрицу:

1 1 5 2 5      28 5 0 1 -23 26      -186 13 0 29 5 33 5      -63 5

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

29 5

Вычитаемая строка:

0 29 5 -667 130      -5394 65

Модифицированная матрица:

1 1 5 2 5      28 5 0 1 -23 26      -186 13 0 0 305 26      915 13

Разделим строку 3 на a3,3 =

305 26

Получим матрицу:

1 1 5 2 5      28 5 0 1 -23 26      -186 13 0 0 1      6

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

-23 26

Вычитаемая строка:

0 0 -23 26      -69 13

Модифицированная матрица:

1 1 5 2 5      28 5 0 1 0      -9 0 0 1      6

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=

2 5

Вычитаемая строка :

0 0 2 5      12 5

Модифицированная матрица:

1 1 5 0      16 5 0 1 0      -9 0 0 1      6

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

1 5

Вычитаемая строка:

0 1 5 0      -9 5

Модифицированная матрица:

1 0 0      5 0 1 0      -9 0 0 1      6

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

		x1							=		5
					x2				=	-	9
								x3	=		6

Заданная система уравнений имеет единственное решение: 

x₁ = 5

x₂ = - 9

x₃ = 6