Задача №7.

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение:

Записываем матрицу системы:

A =

и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю:

Сформируем расширенную матрицу :

-3 -1 0 7      0 2 3 3 4      0 2 -1 2 -4      0

Разделим строку 1 на a1,1 =

-3

Получим матрицу :

1 1 3 0 -7 3      0 2 3 3 4      0 2 -1 2 -4      0

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

2

Вычитаемая строка :

2 2 3 0 -14 3      0

Модифицированная матрица :

1 1 3 0 -7 3      0 0 7 3 3 26 3      0 2 -1 2 -4      0

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

2

Вычитаемая строка :

2 2 3 0 -14 3      0

Модифицированная матрица :

1 1 3 0 -7 3      0 0 7 3 3 26 3      0 0 -5 3 2 2 3      0

Разделим строку 2 на a2,2 =

7 3

Получим матрицу :

1 1 3 0 -7 3      0 0 1 9 7 26 7      0 0 -5 3 2 2 3      0

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-5 3

Вычитаемая строка :

0 -5 3 -15 7 -130 21      0

Модифицированная матрица :

1 1 3 0 -7 3      0 0 1 9 7 26 7      0 0 0 29 7 48 7      0

Разделим строку 3 на a3,3 =

29 7

Получим матрицу :

1 1 3 0 -7 3      0 0 1 9 7 26 7      0 0 0 1 48 29      0

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

9 7

Вычитаемая строка :

0 0 9 7 432 203      0

Модифицированная матрица :

1 1 3 0 -7 3      0 0 1 0 46 29      0 0 0 1 48 29      0

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

1 3

Вычитаемая строка :

0 1 3 0 46 87      0

Модифицированная матрица :

1 0 0 -83 29      0 0 1 0 46 29      0 0 0 1 48 29      0

Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы.

r = 3.

Размерность пространства решений равна d = n – r, где n – число неизвестных в системе уравнений

d = 4 – 3 = 1 число решений в фундаментальной системе равно 1.

Положим z = 1. Получим:

;

;

;

.

, где C – любое не нулевое число.