• Ответ на долбанный Вопрос 5

Теорема о единственности предела.

Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. (от противного)

Пусть существует {x_n}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а<b , такие что

а= x_n, b= x_n, b>a.

так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.

Возьмём = (b-а)>0.

а= x_n для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N₁ такой, что для любого n>N₁: │x_n-а│< (b-а).

b= x_n для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N₂ такой, что для любого номера n>N₂: │x_n-b│< (b-а).

Тогда для любого n>N=max{N₁, N₂} выполняются оба неравенства:

b- x_n<a+ b- a+ b-a<2 = (b-а), что невозможно.

Мы пришли к противоречию.

• Ответ на вопрос 6

Теорема о ограниченности сх-ся посл-ти.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Доказательство.

I.Пусть {x_n} сходится. Докажем, что она ограничена.

{x_n} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит идля =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:

│x_n-а│< =1 а-1<x_n<а+1 x_n (а-1, а+1)

Положим А=min{x₁, x₂,…, x_N, a-1}

B=max{ x₁, x₂,…, x_N, a+1}

Тогда для любого n, n=1, 2, …: А В.

• Ответ на вопрос 7

Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 3.

Пусть {x_n} и {y_n} две сходящиеся последовательности.

x_n=а, y_n=b.

Тогда {x_n+y_n } сходится и её предел равен а+b.

Доказательство.

x_n=а для любого n: x_n=а+ _n, где { _n} - б.м.

y_n=b для любого n: y_n=b+ _n, где { _n} – б.м.

Тогда {x_n+y_n } сходится, т.к. n, n=1, 2, …: x_n+y_n=(а+ _n)+(b+ _n)=а+b+( _n+ _n),

{ _n+ _n } – б.м., как сумма двух бесконечно малых последовательностей { _n} и{ _n}.

Согласно лемме 2 §2 (x_n+y_n)=а+b

Теорема 4.

Пусть {x_n} и {y_n} две сходящиеся последовательности, x_n=а, y_n=b.

Тогда {x_ny_n} сходится и её предел равен а∙b.

Доказательство.

x_n=а для каждого n:x_n=а+ _n, где { _n} – б.м.

y_n=b для любого n: y_n=b+ _n, где { _n} – б.м.

Тогда для любого n:

x_ny_n=(а+ _n)∙(b+ _n)=аb+а _n+b _n+ _{n n}

Последовательности { _n} и { _n} бесконечно малые по лемме 1 §2, { _{n n}} – б.м., как произведение ограниченной на бесконечно малую по теореме 1§2 x_ny_n=а∙b.

Теорема 5.

Пусть {x_n} и {y_n} две сходящиеся последовательности, x_n=а, y_n=b, b 0.

Тогда { } сходится и её предел равен .

Доказательство.

I.Пусть y_n=b, b .

Тогда последовательность { }: 1) имеет смысл

2) сходится

3) её предел равен

1) { } имеет смысл, то есть существует номер n_о такой, что для любого n _о: y_n , то есть { } определена.

В самом деле, т.к. y_n=b для каждого 0, а значит и для >0, существует номер N такой, что для любого номера n>N

│y_n-b│< b- <y_n<b+

Пусть b>0. │b│=b.

Тогда 0<b- ∙b= <y_n< ∙b (*)

Пусть b<0. │b│= - b.

Тогда ∙b<y_n< ∙b<0 (**).

Тогда для любого n N+1: y_n и { } опеределена.

2) Покажем, что { } ограничена.

Для любого n>N: либо 0< <y_n │ │< ,

либо y_n< <0 │ │< { } ограничена.

3) Докажем, что { } сходится и её предел равен .

Так как y_n=b для любого n: y_n=b+ _n, где { _n} – б.м.

Пусть n _о: = = (b - y_n) = _n.

{ _n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- y_n }={- _n }– б.м.

А тогда = + - = + _n , { _n } б.м. и согласно теореме 1§2, = .

II. Докажем теперь, что{x_n∙ }= { } сходится.

x_n=а, = .

Тогда по теореме 3 { } сходится и её предел равен .

Теорема 6.

Пусть {x_n} сходится и x_n=а.

Тогда {│x_n│} сходится и │x_n│=│а│.

Доказательство.

x_n=а для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │x_n- а│< .

Возьмём произвольное >0, фиксируем его. Тогда

n>N: ││x_n│ - │а││ │x_n - а│< │x_n│=│а│.