• Ответ на вопрос 24

2. 

Рассмотрим g(х)= ; Х=( , 1) (0, + ) стандарстная область определения функции g(х).

Докажем, что = =e.

Для этого сначала докажем, что >0 D>0 х (х Х, х>D): │ │< .

А так как g(х)= , то = =e

1. Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем D>0.

=e >0, а значит и для нашего фиксированного >0 N₁ n>N₁:│ e│< .

e < e=sup{ } (*)

А так как =1 >0, >0, N₂ n>N₂: │ │< 1 < <1+ (**)

Положим N=max{N₁, N₂}, D=N+1>0.

Тогда х>D и =n получаем n х<n+1 n>N N₁ и n>N N₂

e < < < = e(1+ )=e+

2. Докажем, что │ │<

=e.

Используем определение (Г)₂.

Возьмём произвольную последовательность {x_n} типа Гейне ( n: х_n Х х_n= ) и проверим, что g(х)=e.

Так как Х=( , 1) (0, + ), то не ограничивая общности можно считать, что n: x_n< 1<0, то есть x_n ( , 1). Рассмотрим последовательность {x_n^’}, где n: x_n^’= x_n>1>0 x_n^’=+ .

n: g(x_n)= = = = = = = =g(x_n^’ 1)

В силу выбора последовательности {x_n}, последовательность {x_n 1} обладает свойствами:

1. n: x_n^’ = x_n 1 (0, + ) Х

2. (x_n^’ 1)=+ (ибо х_n= )

А тогда по доказанному в п.1 g(х_n)= g(x_n^’ 1) =e.

А так как последовательность была выбрана произвольно, то g(х_n) _.

• Ответ на вопрос 25

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Определение.

Пусть (х) имеет стандартную область определения Х и точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Функция (х) называется бесконечно малой при х х_о, если (х)=0.

Определение.

Пусть (х) и (х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе являются бесконечно малыми при х х_о.

Говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_о имеют один и тот же порядок малости и пишут (х)= _{x xo}[ (х)], если =L 0.

Замечание.

Мы в данном случае предполагаем, что отношение определено на Х (х_о-h, х_о+h), h>0, то есть (х) 0 несмотря на то, что (х)=0.

Определение.

Говорят, что две б.м. (х) и (х) при х х_оэквивалентны, если =1.

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет более высокий порядок малости относительно б.м. (х) при х х_о, если =0 и пишут (х)= _{х хо}[ (х)].

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет порядок малости равный р относительно б.м. (х) при х х_о, если =L 0и пишут (х)= _{x xo}[ ^р(х)].

Определение.

Если не существует , и функция при х х_о, то говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_онесоизмеримы.

Примеры.

1. (х)=х и (х)=│x│ при х 0 несоизмеримы.

2. (х) и │ (х)│ - б.м., при х х_о несоизмеримы.

3. f(х)=х и g(х)=х· - б.м. при х 0 g(х)= _{x 0}[ ] р= – порядок малости при х 0 относительно х.