• Ответ на вопрос 12

. Число .

Рассмотрим последовательность {(1+ )ⁿ}.

Обозначим элемент этой последовательности y_n=(1+ )ⁿ.

Докажем, что {y_n}сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

y_n= (1+ )ⁿ=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )

y_n+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )…(1- )

1. {y_n} строго возрастает.

n, n=1, 2, …: y_n<y_n+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. {y_n} ограничено сверху.

Для доказательства заменим каждый множитель (1- )единицей, ибо k n (k-1<n).

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2^k-1, k=1, 2, …, получим

y_n<1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ +…=1+ =1+2=3

Итак, n: y_n<3.

Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) y_n= =sup{(1+ )ⁿ}.

2,7182848…

• Ответ на вопрос 13

Теорема о вложенных отрезках.

Пусть последовательность отрезков (1) { [a_n, b_n] } удовлетворяет следующим условиям:

1). n: [a_n+1, b_n+1] [a_n, b_n]

2). дл.[a_n, b_n]= (b_n- a_n)=0

Тогда последовательность концов отрезков {a_n} и {b_n} сходится и a_n= b_n=с.

При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1).

Доказательство.

Рассмотрим последовательность {a_n} левых концов отрезков .

Из условия 1) следует, что n, n=1, 2, …: а_n+1 a_n {a_n}возрастает. А так как n: a_n b₁ (a_n b_n b₁), то {a_n} ограничена сверху. {a_n} возрастает и ограничена сверху, а тогда по теореме §7 она сходится с: с= a_n.

Рассмотрим теперь последовательность {b_n} правых концов отрезков [a_n, b_n], n=1, 2, …

Так как для любого n: b_n=a_n+(b_n-a_n), то по теореме о пределе суммы двух сходящихся последовательностей {a_n} и {b_n-a_n} b_n=с+0=с.

Согласно следствию §7 a_n=с=sup{a_n}, а так как {b_n} убывает и ограничена снизу, то b_n=с=inf{b_n}.

По определению sup{a_n} и inf{b_n}:

n: a_n с b_n n: с [a_n, b_n].

Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1).

Предположим, что с′, с′ с и такое, что n: с′ [a_n, b_n].

Значит, n: -(b_n-a_n) с-с′ b_n-a_n, а так как с′ с, то |с-с′|>0 0<|с-с′| (b_n-a_n).

Но это противоречит тому, что (b_n- a_n)=0.

• Ответ на вопрос 14

Понятие числовой функции числового аргумента.

1.Определение.

Пусть Х – непустое множество. Х .

Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно которому каждому элементу х Х поставлено в соответствие число y.

Обозначается функция: y=f(х); х Х.

При этом множество Х называется областью определения функции, а множество Y={y; y=f(х), х Х } называется множеством значений функции y=f(х), х Х.

2.Определение.

Пусть f(x) определена на промежутке X ненулевой длины. Y={f(x), x X} – её область значений.

Функция f(x) называется однозначно обратной на X, если y Y единственное x X такое, что y=f(x).

Определение 3 - Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х.

• Ответ на вопрос 15

Пусть f(х) – функция, имеющая стандартную область определения Х, х_о – фиксированная точка, лежащая внутри или являющаяся концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет предел в т. х_о, равный L и пишут f(х)=L, если:

(К) (в смысле Коши) 0 >0 х Х, х х_о, х_n=х_о =>

│f(х_n)-L│< │x- х_о│< .

• Ответ на вопрос 16.

Пусть f(х) – функция, имеющая стандартную область определения Х, х_о – фиксированная точка, лежащая внутри или являющаяся концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет предел в т. х_о, равный L и пишут f(х)=L, если:

(Г) (в смысле Гейне) {х_n}: 1. n:х_n Х n: х_n х_о : f(х_n)=L 3. х_n=х : │f(х)- L│<

• Ответ на вопрос 17

Теорема.

Определения (Г) и (К) эквивалентны ( (Г) (К) ).

Доказательство.

1). (К) (Г).

Дано: L является пределом функции f(х) в точке х_о в смысле Коши.

Докажем, что число L является пределом функции f(х) в точке х_о и в смысле Гейне.

Возьмём произвольную последовательность {х_n}, удовлетворяющую условиям:

1. n: х_n Х

2. n: х_n х_о (последовательность типа Гейне)

3. х_n=х_о

И рассмотрим последовательность соответствующих значений функции f(х): {f(х_n)}.

х Х

Так как L=^(К) f(х) 0 >0 х х х_о : │f(х)- L│< . │x- х_о│<

Возьмём произвольное 0 и возьмём ( )>0, которое для >0 существует по определению Коши.

Так как х_n= х_о >0, а значит и для ( )>0 N=N( ( )) n>N: │x- х_о│< . Тогда │f(х_n)- L│< 0 N n>N:│f(х_n)- L│< f(х_n)=L так как {х_n} была выбрана произвольно: f(х)=^(Г)L.

2). (Г) .

Дано: L=^(Г) f(х).

Докажем, что L=^(К) f(х) 0 >0 х (х Х, х х_о, │x- х_о│< ) : │f(х)- L│<

Пусть L^(К) f(х) _о>0 >0 х′ (х′ Х, х′ х_о, │x′- х_о│< ): │f(х′)- L│ _о

Тогда для ₁=1>0 х₁′ (х₁′ Х, х₁′ х_о, │x₁′- х_о│< ₁=1): │f(х₁′)- L│ _о

для ₂= >0 х₂′ (х₂′ Х, х₂′ х_о, │x₂′- х_о│< ₂= ): │f(х₂′)- L│ _о

..........................................................................................................................................

для _n= >0 х_n′ (х_n′ Х, х_n′ х_о, │x_n′- х_о│< _n= ): │f(х_n′)- L│ _о

…………………………………………………………………………………………………...

Мы построили последовательность {х′_n} такую, что:

1. n: х′ Х, 2) n: х′ х_о, 3) n: │x′_n- х_о│<

Покажем, что х_о )= (х_n+ )=х_о.

А тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх последовательностей: x′_n=х_о.

И для {f(х′_n)} │f(х_n′)- L│ _о f(х_n′) L.

Мы получили ( ) ( ) {х′_n} : │f(х_n′)- L│ _о

Следовательно, (Г) (К).