3.4.2 Указания по выполнению задания д-4

Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости: .

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы:

. (3.28)

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела массой m со скоростью

. (3.29)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью , то

, (3.30)

где – момент инерции тела вокруг оси Оz.

Если тело совершает плоскопараллельное движение, то

, (3.31)

где m – масса тела;

– скорость центра масс тела;

– угловая скорость;

– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно к плоскости движения.

Работа А силы на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги М₀ М траектории от точки М₀ до точки М:

(3.32)

где – проекция силы на касательную к траектории точки;

– элементарное перемещение вдоль этой касательной;

– проекции силы на оси координат х, у, z.

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути

где s – пройденный путь;

– угол между силой и перемещением.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси полная работа пары сил с моментом М_z равна:

, (3.33)

где – элементарное угловое перемещение твердого тела.

Если момент М_z постоянный, а = 0, то .

Работа внутренних сил для неизменяемой механической системы равна нулю.

Мощность силы N характеризует быстроту совершения работы:

. (3.34)

Если точка под действием силы движется со скоростью , то мощность силы

(3.35)

Если твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси под действием пары сил с моментом М_z, то мощность пары

. (3.36)

Теоремы об изменении кинетической энергии механической системы можно выразить в трех формах:

1. Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему:

. (3.38)

2. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему:

. (3.39)

3. Изменение кинетической энергии механической системы за конечный промежуток времени равно сумме работ внешних и внутренних сил, действую­щих на систему за то же время:

. (3.40)

Для неизменяемой механической системы:

. (3.41)

Для определения скоростей тел применяют теорему об изменении кинетической энергии в виде (3.40), а для определения ускорений в виде (3.39).

При выполнении задания необходимо кинетическую энергию всех тел системы выразить через ту скорость, которую требуется определить. При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение, в данном случае – через путь . При этом следует учесть, что соотношения между перемещениями будут такими же, как и между соответствующими скоростями.