3.5.3 Примеры выполнения задания д-5

Пример Д-5.1. Используя общее уравнение динамики, решить задачу для схемы, показанной на рис. 3.126.

Дано: Р₁ = 6Р, Р₂ = 4Р, Р₃ = 2Р, Р₄ = 2Р, Р₅ = P, F = 16Р.

Найти: а₁ – ускорение груза 1.

Рис. 3.126. Расчетная схема к примеру Д-5.1

Решение: применим для решения задачи общее уравнение динамики. Связи для грузов 1 и 2 неидеальные, так как надо учитывать трение.

1. Показываем на рисунке активные силы и силу . Для грузов 1 и 2 показываем реакции шероховатых поверхностей и , (неидеальные связи). Задавшись направлением ускорения груза , показываем силы инерции поступательно движущихся грузов 1 и 2 – , пары сил инерции для вращающихся шкивов 4 и 5 – , а также главный вектор и главный момент сил инерции тела 3, совершающего плоскопараллельное движение, величины которых равны:

Так как массы шкивов 4 и 5 распределены по их внешним ободам, а тело 3 – однородный цилиндр, то

Силы трения для тел 1 и 2 определяются через нормальные реакции, т.е. , а и равны величинам составляющих сил тяжести, перпендикулярным к плоскостям движения: , . Поэтому .

2. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение работ на данном перемещении (3.43), будем иметь:

Все перемещения выразим через возможное перемещение груза 1, т.е. через .

Воспользуемся тем, что в случае стационарных связей возможные перемещения связаны аналогично скоростям и ускорениям:

(3.45)

Для тела 3 учтено, что оно совершает мгновенно вращательное движение вокруг МЦС, который находится в точке соприкосновения с плоскостью движения. Подставив (3.45) в уравнение (3.44) с учетом выражений для моментов и сил инерции, получим:

(3.46)

Входящие в это выражение ускорения выразим через искомое ускорение :

;

Соотношения между ускорениями такие же, как и между скоростями этих же точек или тел. Учитывая, что в выражении (3.46) приравниваем к нулю выражение в скобках. После преобразования будем иметь:

Подставляя исходные данные задачи, получим:

или

.

Ответ: .

3.6 Задание д-6. Уравнения Лагранжа второго рода

3.6.1 Применение уравнений Лагранжа второго рода

Определить ускорение груза, имеющего больший вес (табл. 11) по уравнению Лагранжа второго рода. Использовать данные к заданию Д-5 (рис. 3.97-3.126).

Для механической системы с идеальными связями и обобщенными координатами , имеющей n степеней свободы, из общего уравнения динамики можно получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа второго рода:

(3.47)

где Т – кинетическая энергия механической системы;

– обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам .

Уравнениями Лагранжа можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с голономными связями независимо от того, сколько точек или тел входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается.

3.6.2 Указания к выполнению задания д-6

Для решения задачи надо проделать следующие операции:

1. Определить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты в количестве, равном числу степеней свободы. Обобщенные координаты должны быть между собой независимы, и однозначно определять положение всех точек системы.

2. Изобразить все действующие на систему активные силы, а если связи не являются идеальными, то добавить к ним соответствующие реакции связей (например, силы трения). Для определения обобщенной силы, соответствующей i-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил и реакций неидеальных связей на возможном перемещении , считая остальные . Обобщенная сила будет равна коэффициенту при .

3. Вычислить кинетическую энергию Т механической системы и выразить ее через обобщенные координаты и скорости.

4. Найти частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным координатам и обобщенным скоростям и , а затем производную по времени от , т.е. .

5. Полученные в пунктах 2 и 4 результаты подставить в уравнения Лагранжа и, решая полученную систему уравнений, найти искомые величины.