Контрольная работа №3.
Задача
№14.
Случайная величина
распределена по биномиальному закону
с параметрами
.
Найти закон распределения
и вероятность
.
Решение.
может принимать значения 0,1,2,3. найдем соответствующие вероятности:
Искомый закон распределения :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Известно,
что
.
Поэтому:
Ответ:
Задача
№15.
Случайная величина
распределена по сдвинутому геометрическому
закону с параметром
.
Найти
.
Решение.
может
принимать значения
соответствующие вероятности, которых
вычисляются по формуле
;
и вообще
.
Закон распределения задается бесконечной таблицей распределения.
-
1
2
3
…
к
…
0,1
0,09
0,081
…
…
Известно,
что
.
Далее
.
Ответ:
.
Задача
№16.
Случайная величина
распределена по закону Пуассона с
параметром
.
Найти
.
Решение.
Известно,
что
.
Следовательно,
.
Далее вероятность
.
Находим по таблице для функции:
.
.
Следовательно
.
Ответ:
Задача
№17.
Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
.
Написать
плотность распределения вероятностей
и функцию распределения
случайной величины
.
Найти математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
случайной величины
.
Найти
вероятность
.
Построить кривую распределения.
Решение.
Известно, что случайная величина с равномерным законом распределения на отрезке , имеет плотность вероятности и функцию распределения :
В нашей задаче:
Ответ:
Кривая распределения (рис.4):
Рис.4
Задача
№18.
Случайная величина
распределена по нормальному закону с
параметрами
.
Написать плотность распределения
вероятностей
,
функцию распределения
,
построить схематично кривую распределения.
Найти
.
Найти вероятность
.
Решение.
Известно, что
,
где
- функция Лапласа, причем
.
Следовательно, имеем:
.
.
Кривая распределения (рис.5):
π
Рис.5
Ответ:
.
Задача
№19.
Случайная величина
распределена по экспоненциальному
закону с параметром
.
Написать плотность распределения
вероятностей
,
функцию распределения
.
Найти
и вероятность
.
Решение.
Для случайной величины с экспоненциальным законом распределения плотность распределения вероятностей и функция распределения записываются так:
,
где
- положительный параметр.
При
этом
Следовательно, в нашей задаче:
.
Ответ:
.
Задача
№20.
Дан закон распределения системы случайных
величин
.
Найти:
а)
законы распределения
в отдельности;
б)
;
в)
корреляционный момент
;
г)
коэффициент корреляции
;
д)
закон распределения
при условии
.
Решение.
Y X |
1 |
2 |
2 |
0,34 |
0,12 |
3 |
0,16 |
0,18 |
5 |
0,10 |
0,10 |
X |
2 |
3 |
5 |
|
0,46 |
0,34 |
0,20 |
Y |
1 |
2 |
|
0,6 |
0,4 |
‑ Закон распределения Y
б)
в)
г)
.
д)
X/Y=1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
Задача №21. Задана плотность распределения вероятностей1 случайной точки формулой:
г
де
- треугольник
.
Найти: 1) постоянную С;
2) плотности
распределения вероятностей
координат
в
отдельности; 3) числовые характеристики
координат
:
;
4)
и
(ковариацию и коэффициент корреляции);
5) функцию распределения
случайной точки
.
Решение.
С
Рис.6
Область заштрихована (рис.6).
известно, что
.
Находим:
.
Таким
образом,
2)
,
,
если
.
Окончательно получаем
Аналогично
находим
3)
;
;
.
4)
.
5
D'
.
Так как
Рис.7
где
(см.рис.7), то
Задача
№22.
Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
.
Найти:
1) плотность распределения вероятностей случайной величины ;
2) функцию распределения случайной величины ;
3)
функцию распределения
случайной величины
;
4)
плотность распределения вероятностей
случайной величины
;
5)
Решение.
1)
2)
3)
4)
5)
.
Приложение 1.
Таблица
значений функции
х |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0.84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 |
00000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478
0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0.2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3112 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 |
0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24
1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 |
0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948
0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3914 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 |
0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36
1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 |
0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406
0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 |
0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48
2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2.36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 |
0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844
0,4846 04854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4908 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,49999997 |
Приложение 2.
Таблица
значений функции
.
х |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0.84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 |
00000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478
0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0.2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3112 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 |
0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24
1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 |
0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948
0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3914 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 |
0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36
1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 |
0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406
0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 |
0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48
2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2.36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 |
0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844
0,4846 04854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4908 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,49999997 |
Приложение 3.
Таблица
значений функции
.
k |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
0,904837 0,090484 0,004524 0,000151 0,000004 |
0,818731 0,163746 0,016375 0,001091 0,000055 0,000002 |
0,740818 0,222245 0,033337 0,003334 0,000250 0,000015 0,000001 |
0,670320 0,268128 0,053626 0,007150 0,000715 0,000057 0,000004 |
0,606531 0,303265 0,075816 0,012636 0,001580 0,000158 0,000013 0,000001 |
0,548812 0,329287 0,098786 0,019757 0,002964 0,000356 0,000035 0,000003 |
0,496585 0,347610 0,121663 0,028388 0,004968 0,000695 0,000081 0,000008 |
0,449329 0,359463 0,143785 0,038343 0,007669 0,001227 0,000164 0,000019 0,000002 |
0,406570 0,365913 0,164661 0,049398 0,011115 0,002001 0,000300 0,000039 0,000004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k
|
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
0,367879 0,367879 0,183940 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 0,000073 0,000009 0,000001 |
0,135335 0,270671 0,270671 0,180447 0,090224 0,036089 0,012030 0,003437 0,000859 0,000191 0,000038 0,000007 0,000001 |
0,049787 0,149361 0,224042 0,224042 0,168031 0,100819 0,050409 0,021604 0,008101 0,002701 0,000810 0,000221 0,000055 0,000013 0,000003 0,000001 |
0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104194 0,059540 0,029770 0,013231 0,005292 0,001925 0,000642 0,000197 0,000056 0,000015 0,000004 0,000001 |
0,006738 0,033690 0,084224 0,140374 0,175467 0,175467 0,146223 0,104445 0,065278 0,036266 0,018133 0,008242 0,003434 0,001321 0,000472 0,000157 0,000049 0,000014 0,000004 0,000001 |
0,002479 0,014873 0,044618 0,089235 0,133853 0,160623 0,160623 0,137677 0,103258 0,068838 0,041303 0,022529 0,011262 0,005199 0,002228 0,000891 0,000334 0,000118 0,000039 0,000012 0,000004 0,000001 |
0,000912 0,006383 0,022341 0,052129 0,091226 0,127717 0,149003 0,149003 0,130377 0,101405 0,070983 0,045171 0,026350 0,014188 0,007094 0,003311 0,001448 0,000596 0,000232 0,000085 0,000030 0,000010 0,000003 0,000001 |
0,000335 0,002684 0,010735 0,028626 0,057252 0,091604 0,122138 0,139587 0,139587 0,124007 0,099262 0,072190 0,048127 0,029616 0,016924 0,009026 0,004513 0,002124 0,000944 0,000397 0,000159 0,000061 0,000022 0,000008 0,000003 0,000001 |
0,000123 0,001111 0,004998 0,014994 0,033737 0,060727 0,091090 0,117116 0,131756 0,131756 0,118580 0,097020 0,072765 0,050376 0,032384 0,019431 0,010930 0,005786 0,002893 0,001370 0,000617 0,000264 0,000108 0,000042 0,000016 0,000006 0,000002 0,000001 |
Литература.
Х.М. Андрухаев. Сборник задач по теории вероятностей. – М. «Высшая школа», 2005г.
А.С. Солодовников. Теория вероятностей. – М. «Просвещение», 1983г.
Х.М. Андрухаев. Практические занятия по теории вероятностей и математической статистике. – Майкоп, АГУ, 2002г.