1.2 Кінематика обертального руху

Головна задача кінематики обертального руху – визначення

= f(t) (рис.1.2).

Рисунок 1.2

=  /t – середня кутова швидкість,

= d /dt – миттєва кутова швидкість,

=  - зв'язок між кутовою та лінійною швидкостями,

| | = = - модуль лінійної швидкості,

=  /t – середнє кутове прискорення,

= d /dt – миттєве кутове прискорення.

Зв'язок між кутовими та лінійними величинами:

,

, ,

,

.

1.3 Динаміка поступального руху

Рівняння руху матеріальної точки (другий закон Ньютона):

d /dt = , або m = ,

- векторна сума сил, що діють на матеріальну точку,

m – маса,

- прискорення,

= m - імпульс,

N – число сил, діючих на точку.

Сили в механіці:

F_np = - kx - сила пружності,

k – коефіцієнт жорсткості,

х – абсолютна деформація,

F = G^. m₁^. m₂/r² – сила гравітаційної взаємодії двох точкових мас,

G = 6,67^.10^-11 Н^.м²/кг² – гравітаційна стала,

m₁, m₂ - маси взаємодіючих тіл,

r – відстань між тілами;

F_тр = ^. N – сила тертя ковзання,

- коефіцієнт тертя ковзання,

N – сила нормального тиску.

Закон збереження імпульсу:

= const, якщо система замкнена, (векторна сума зовнішніх сил дорівнює нулю).

Для замкненої системи імпульс може бути представлений:

= m^. ,

де m – сумарна маса системи,

- швидкість центра мас системи,

= m^. = const – це означає, що центр мас замкненої системи рухається прямолінійно та рівномірно, або лишається нерухомим.

Робота змінної сили:

A =

Інтегрування ведеться вздовж траєкторії ι.

Кінетична енергія (енергія тіла, що рухається):

Е_к = m^.V²/2,

Е_к = А – зміна кінетичної енергії дорівнює виконаній роботі.

Потенціальна енергія та сила, що діє на тіло зв'язані співвідношенням:

= - grad E_n = - ( ^. E_p/ x + ^. E_p/ y + ^. E_p/ z),

, , - одиничні вектори (орти).

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла:

E_p = kx²/2

Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії:

E_n = - G^.m₁^.m₂ /r

Потенціальна енергія тіла, що знаходиться в однорідному полі сил тяжіння:

E_p = mgh,

де h – відстань від рівня, потенціальна енергія якого приймається рівною нулю, до рівня, на якому знаходиться тіло.

Закон збереження енергії в механіці:

Е_к + E_n = const,

якщо у системі діють тільки консервативні сили (пружності та гравітаційні).

1.4 Динаміка обертального руху

Для виводу основного рівняння динаміки обертального руху скористаємося позначеннями, що пояснюються рисунком 1.3.

Рисунок 1.3

= - момент сили відносно точки (початку координат),

- радіус-вектор точки А відносно початку координат (т.о.),

- радіус-вектор точки А відносно осі (радіус-вектор сили),

|| осі (в площині паралельній осі),

| осі (в площині перпендикулярній осі),

= - момент сили відносно осі, чисельно дорівнює проекції на вісь.

= - момент імпульсу відносно початку координат.

= d /dt – основний закон динаміки обертального руху.

Якщо система замкнена (тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю), то закон збереження моменту імпульсу має вигляд:

d /dt = 0; L₀ = const

= d(I^. )/dt = I^.d /dt = I^. - основне рівняння динаміки обертального руху.

I = - момент інерції тіла, міра інертності в обертально­му русі.

Робота при обертальному русі

dA = M^.d

Кінетична енергія тіла, що обертається:

E_k = I^. /2

Теорема Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі:

I = I₀ + m^.a²

I₀ – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас паралельно до даної,

a – відстань між осями.