1.6 Кінематика коливального руху

x = A - рівняння гармонічного коливального руху,

x – зміщення тіла від положення рівноваги,

А – амплітуда, максимальне зміщення тіла від положення рівноваги,

- фаза коливання, задає положення тіла в будь який момент часу,

- початкова фаза, задає положення тіла в момент часу t = 0,

- циклічна частота,

Т – період коливання (час одного повного коливання, або час, за який фаза змінюється на 2 рад),

- лінійна частота, кількість коливань в одиницю часу, = 1/T,

V = dx/dt = A + ) – швидкість коливального руху,

a = d²x/dt² = -A ² + ) – прискорення коливального руху.

При складанні коливань однакового напрямку:

x₁ = A₁ + , x₂ = A₂ + ),

A_р = - амплітуда результуючого коли­вання.

tg = (A₁sin +A₂sin ) / (A₁cos +A₂cos ) - фаза результуючого коливання.

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях з амплітудами А₁ та А₂ і початковими фазами та :

1.7 Динаміка коливального руху

Диференціальне рівняння гармонічних вільних коливань:

m ^.x^'' = - k ^. x, або x^''' + х = 0,

m – маса тіла,

k – коефіцієнт квазіпружної сили,

= k/m – власна частота гармонічних коливань.

Повна енергія: E = E_n + E_k = E_nmax = E_kmax

E_n = k ^. x²/2 = k ^. A^{2 .} sin²( )/2,

E_k = m ^. V²/2 = m ^. A^{2 . .} cos²( )/2,

E_nmax = k ^. A²/2 , E_kmax = m ^. A^{2 . 2}/2.

Періоди коливань:

пружинного маятника Т = 2 ^{. .} ,

математичного маятника Т = 2 ^{. .} ,

де ι – довжина математичного маятника,

фізичного маятника Т = 2 ^{. .}

де I – момент інерції маятника відносно його осі обертання,

m – маса тіла,

а – відстань від центра мас тіла до осі обертання маятника.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. , або x^'' + 2 ^{. .} + х = 0,

= r/2m – коефіцієнт загасання.

Рівняння загасаючих коливань:

x = A(t) ^. cos( t + ),

A(t) = А₀^. e ^- ,

А₀ - амплітуда в момент часу t = 0.

= ln = Т – логарифмічний декремент загасан­ня.

A(t) та A(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відстоять по часу одне від одного на період.

Диференціальне рівняння вимушених коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. + F₀^. cos t ,

або

x^'' + 2 ^{. .} + х = f₀^. cos t,

F₀ ^. cos t – зовнішня періодична сила, яка викликає вимушені коливання.

А = f₀/ - амплітуда вимушених коливань,

_рез = - резонансна частота,

А _рез = f₀/(2 ^{. .} ) – резонансна амплітуда.

Добротність Q = = /N_е,

N_е – число коливань за час, коли амплітуда зменшується в е разів.

- час релаксації (час, за який амплітуда зменшується в е разів).

1.8 Пружні хвилі

Процес розповсюдження коливань у суцільному середовищі називається хвильовим процесом або, хвилею.

Рівняння плоскої хвилі:

= A ^. cos (t - x/V) = A ^. cos( t - kx),

- зміщення точки середовища з координатою x в момент часу t,

- кругова частота,

V – швидкість розповсюдження коливань в середовищі (фазова швид­кість),

V = dx/dt = /k,

k = 2 - хвильове число,

= V ^. T - довжина хвилі,

 = 2 ^.x/ - різниця фаз коливань двох точок середовища, відс­тань між якими (різниця ходу) х.

Рівняння стоячої хвилі:

= A ^. cos( ^.x/V)^. cos t = A ^. coskx^. cos t

Фазова швидкість поздовжніх хвиль в пружних середовищах:

- в твердих тілах: V = ,

де Е – модуль Юнга, - густина речовини,

- в газах: V = = ,

- коефіцієнт Пуасона ( = С_p/С_v),

R – універсальна газова стала,

Т – температура,

- молярна маса газу,

Р – тиск.

Групова швидкість: U = d /dk – швидкість руху групи хвиль, утворюючих в кожний момент часу локалізований в просторі хвильовий пакет,

U = V - ^. dV/d - зв'язок між фазовою та груповою швидкостями.

Середня об'ємна густина енергії:

= ^{. .} A²/2,

Вектор Умова: ,

j = Ф/S _| - густина потоку енергії,

Ф = W/t – потік енергії,

W – енергія хвилі,

S _| - площина, перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі.