8. Анализ точности механической обработки методами математической статистики

Математическая статистика изучает закономерности поведения случайных величин. Как было отмечено ранее, погрешности механической обработки делятся на систематические и случайные. В совокупности они образуют суммарную погрешность. Систематические погрешности подчиняются определенным закономерностям. Если они известны, то эти погрешности можно определить расчетным путем, используя различные математические модели. Так можно рассчитать тепловые и упругие деформации системы ДИПС, определить опытным или расчетным путем размерный износ режущего инструмента. Однако точно вычислить систематические погрешности простыми методами порой бывает сложно.

Случайные погрешности не подчиняются видимым закономерностям. Поэтому использовать для их расчета детерминированные математические модели нельзя. Причинами случайных погрешностей являются колебания механических свойств обрабатываемого материала, припуска на механическую обработку, температурного режима обработки, условий настройки системы ДИПС и. т. д. В силу этих причин при образовании систематических погрешностей тоже возникает элемент случайности.

В этих условиях определить суммарную погрешность однозначно и абсолютно точно невозможно. В пределах одной партии деталей, обработанных даже по методу автоматического получения размеров, каждая деталь будет иметь свой размер. Размеры деталей будут изменяться в некоторых пределах, и группироваться около некоторого центра.

Таким образом, вместо одного размера при механической обработке партии деталей будем иметь множество случайных значений. Это явление в математической статистике называется рассеянием случайных величин. Величину, в пределах которой изменяются случайные величины, будем называть полем рассеяния и обозначать . Следовательно, точность механической обработки категория случайная. Поэтому для анализа точности механической обработки эффективно использование методов математической статистики.

8.1. Анализ точности методом кривых распределения

Основой метода является построение кривых распределения случайных значений геометрических размеров.

8.1.1. Методика построения эмпирической кривой распределения

Пусть имеется партия из деталей, которую будем называть объемом выборки. Допустим размеры деталей в этой партии являются случайными величинами. Эмпирическая кривая распределения отражает закон распределения размеров деталей в пределах поля их рассеяния. Эта кривая строится в следующей последовательности:

1. Производится измерение деталей. Для этого используется прибор с ценой деления шкалы .

Ценой деления называется разность значений измеряемой величины между двумя соседними отметками шкалы. Рекомендуется выбирать цену деления, а следовательно, и прибор для измерения, в зависимости от объема выборки по следующему правилу

(13.1)

где – допуск на размер.

2. Из совокупности размеров определяются наибольший и наименьший размеры, а также их разность, которая называется размахом выборки

. (13.2)

3. Размах выборки разбивают на равных интервала. Величину интервала определяют по формуле

. (13.3)

Полученное значение округляют до величины кратной по правилу

g = 1,2,3,… . (13.4)

Таким образом, должен превышать цену деления, по крайней мере, в два раза.

4. За начало первого интервала принимают величину

(13.5)

Для каждого последующего под номером

(13.6)

Конец первого интервала определяется значением

(13.7)

Для каждого последующего

(13.8)

Очевидно, что

(13.9)

Для последнего интервала имеем , где - номер последнего интервала.

Таким образом, первый интервал содержит Последний – .

5. Определяют количество деталей, размеры которых попадают в тот или иной интервал . Это количество обозначают и называют частотою. Отношение называется частостью.

6. Полученные результаты оформляют в виде таблицы 8.1 распределения размеров. В качестве примера заполнения таблицы примем: количество деталей в партии = 120, количество интервалов =10, количество частот по интервалам:

Таблица 8.1

Распределение размеров

№ интервала	Границы интервала, мм		Регистрация частот	Частота,	Частость,
1			ХХ	2	0,0166
2			Х	1	0,0083
3			ХХХХХ	5	0,0416
4			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	20	0,1666
5			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	18	0,1500
6			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	28	0,2333
7			ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ	27	0,2250
8			ХХХХХХХХХХХХХ	13	0,1083
9			ХХХХ	4	0,0333
10			ХХ	2	0,0166
Итого:				120	0,9996

=2; =1; =5; =20; =18; =28; =27; =13; =4; =2.

Из таблицы следует, что

; . (13.10)

Очевидно, что можно рассматривать как величину, близкую к вероятности попадания размера детали из партии в тот или иной интервал.

3. По данным таблицы 8.1 строят ступенчатый график, состоящий из прямоугольников шириною , высотою или . Этот график называется гистограммой распределения. Если соединить середину верхней стороны каждого прямоугольника отрезками прямых, то получим ломаную линию, которая называется эмпирической кривой распределения или полигоном (рис.8.1).

Графическая интерпретация полученных результатов позволяет сделать вывод, что размеры деталей группируются около некоторой центральной величины (центра группирования), причем, чем больше отличие между этой величиной и фактическим размером, тем меньше частота регистрации этого размера. Эта центральная величина называется средним арифметическим значением случайных величин и определяется по следующей формуле

; (13.11)

Очевидно, что - значение случайной величины в середине - го интервала.

Другой характеристикой кривой распределения случайных величин, является среднее квадратическое отклонение случайных величин от среднего арифметического значения, которое определяется по формуле

. (13.12)

Если постепенно увеличивать размер партии, то ломаная линия будет приближаться к холмообразной кривой, аналогичной той, которая представлена на рис.8.1.2. и рис.8.1.7.

Тогда частота и частность на каждом интервале будут стремиться к некоторым значениям и на данном интервале, которые в дальнейшем будем называть теоретической частотой и теоретической частостью.