Глава 1. Дифференцирование функций
§ 1.1. Основные формулы дифференцирования
1) с′=0, где с – const; 2) (хn)′ = nxn-1;
3) (ax)′=axlna; 4) (ex)′=ex ;
5)
(lgax)′=
;
6) (lnx)′=
;
7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx;
9)
(tgx)′=
;
10) (ctgx)′=
;
11)
(arcsinx)′=
;
12)(arccosx)′=
;
13)
(arctgx)′=
;
14)(arcctgx)′=
.
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда
1) (u(x)v(x))′=u′(x) v′(x);
2) (u(x) v(x))′=u′(x)v(x)+u(x) v′(x);
3)
;
4) (cf(x))′=cf′(x).
Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x)))′=f′(u)u′(x).
1.1.1. Найти производные следующих функций:
1)f(x)=3x2-5x+1;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)y=x2sinx;
12)
;
13)
;
14)
;
15)y=xarcsinx ;
16)
;
17)
;
18)
;
19)y=xlnx ;
20)
;
21)
;
22)y=(sinx)log5x ;
23)y=2x+10x ;
24)
;
25)y=excosx ;
26)
;
27)y=(x2-10x+5)10 ;
28)
;
29)
;
30)
;
31)y=sin2x+cos5x ; 32)y=tgx2+ctgx3 ;
33)y=sin2x-3cos3x ; 34)y=tg35x ;
35)y=3sin2(2x+5) ;
36)
;
37)
;
38)y=ln(1-2x) ;
39)
;
40)
;
41)
;
42)y=(sinx)cosx ;
43)y=(x+5)2/x ; 44)y=(x2+1)sinx ;
1.1.2. Найти производные у′х неявных функций:
1) х2-5ху+8у3=5;
2)
;
3)l2x+l3y-5xy=0; 4)lxsiny+lycosx= ;
5)y-x=arctgy ;
6)
.
______________________
1.1.3. Найти производные следующих функций:
1)y=x4-4x3+0,5x2-2x+3;
2)
;
3)
;
4)y=(x2+5x)sinx;
5)
;
6)y=(2x+5)7 ;
7)
;
8)
;
9)
;
10)y=ln(5-2x2);
11)y=lncos5x ;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)y=sin23x+sin9x2 ;
17)
;
18)
.
1.1.4. Найти производные у′х неявных функций:
1) у2+х2=lnxy; 2)xsiny+ysinx=0.
§1.2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Пусть
дана функция y=f(x).
К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М0(х0;у0). Угловой коэффициент касательной в точке М0 равен значению производной функции f(x) в точке х0, то есть k=tg=f′(x0).
Уравнение касательной, проходящей
через точку М0(х0;у0), имеет вид:
у-у0=f′(x0)(х-х0).
Прямая, перпендикулярная к
касательной и проходящая через
точку М0, называется нормалью.
Уравнение нормали в точке М0(х0;у0):
у-у0=
(х-х0).
_________________
1.2.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:
а) у=х2-4х+3, х0=-1; б) у=х2е-х, х0=1;
в) у=-х2+6х-5
в точках пересечения с осью ОY.
Ответ: а) у=-6х+2;
б)
;
в)у=6х-5;
;у=-е+е+
;
-5.
1.2.2. В каких точках
касательные к кривой
параллельны прямой у=2х-1?
Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).
1.2.3. Найти площадь
треугольника, ограниченного осями
координат и касательной к графику
функции
в точке х0=-1.
Ответ: 4,5.
1.2.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x2+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.
Ответ: 2.
1.2.5. Написать уравнения касательных к окружности х2+у2+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.
Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.
1.2.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х2-у2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.
Ответ:
;
(40;40).
_____________
1.2.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:
а) у=х3, х0= -2; б) у=2х-х2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;
в) у=2х2-5, у=х2-3х+5 в точках пересечения этих кривых.
Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;
;
;
;
в) у=8х-16;
у=
;
у=-20х-100;
у=
;
у=х-2;
у=
-х+2;
у=
-13х-65;
у=
.
1.2.8. В каких точках
касательные к кривой
перпендикулярны к прямой у=2х-5?
Ответ: (0;-1); (-2;3).
1.2.9. Написать уравнения касательных к астроиде х2/3+у2/3=а2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.
Ответ:
.