2.2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
Производная
функции z=F(x,y)
по х,
найденная в предположении, что у
остается постоянным, называется частной
производной zпо
х
и обозначается
или F'x(x,y).
Аналогично
определяется и обозначается частная
производная zпоу:
или F'у(x,y).
Если функция z=F(x,y)имеет
в точке (х,у)
непрерывные частные производные, то ее
полное приращение может быть представлено
в виде
.
Тогда выражение
есть главная часть полного приращения
;
она называется полным дифференциалом
функции и обозначается dz:
,
(здесь dx=x,
dy=y
– произвольные приращения аргументов).
____________________________
Найти частные производные функций:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Найти полные дифференциалы функций:
15. |
|
16. |
. |
17. |
|
18. |
|
.
.
.
Ответы: 1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
;
.
11.
12.
13.
14.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций
А) Еслиz=F(x,y),
x=f(t),
y=(t),
тоzназывается
сложной функцией от t.
При этом
,
если функции F,f,
- дифференцируемы.
Б) Еслиz=F(x,y),
гдеx=f(u,v),
y=(u,v),
и если функции F,f,
- дифференцируемы, то
.
В) Уравнение
F(x,y)=0,
имеющее решение (х0,
у0),
определяет в окрестности х0
переменную у
как непрерывную функцию х.
В этом случае говорят, что у
– неявная функция от х.
Если в окрестности х0
,
то производная неявной функции находится
по формуле
.
Г) Уравнение
F(x,y,z)=0
определяет z,
как неявную функцию двух переменных х
и у.
Ее частные производные вычисляются по
формулам
.
_________________________
1. Найти
,
если
а)
;
б)
.
2. Найти
и
если
а)
;
б)
.
3. Найти производную y'(x)неявной функции, заданной уравнением:
а) х2+у2-4х+6у=0; б) x2lny-y2lnx=0.
4. Найти
и
для неявной функции z=z(x,y),
определенной уравнением
.
________________________
5. Найти указанные производные:
а)
.
Найти
.
б)
.
Найти
и
.
в) Найти y'(x)
если
.
Ответы: 1. а)
;
б)
.
2. а)
.
б)
.
3. а)
.
4. а)
5. а)
.
б)
;
.
в)
.
2.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
А) Пусть поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0 и на ней зафиксирована точка М(x0,y0,z0). Уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке имеет вид
F'x(x0,y0,z0)(x-x0)+ F'y(x0,y0,z0)(y-y0)+ F'z(x0,y0,z0)(z-z0)=0.
Уравнения нормали к поверхности в точке М(x0,y0,z0):
.
Б) Если поверхность задана уравнением z=f'(x,y) и на ней зафиксирована точка М(x0,y0,z0), то уравнение касательной плоскости и поверхность в этой точке будет иметь вид:
z-z0= z'x(x0,y0)(x-x0)+ z'y(x0,y0)(y-y0),
а уравнение нормали:
.
_______________________
1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке.
а) х2+3у2-4z2=15, M(2;-3;2);
б)z=x2+2y2, M(1;1;3).
2. К поверхности х2+2у2+3z2=21 провести касательные плоскости,параллельные плоскостих+4у+6z=0.
_______________________
3. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности х2z+у2z=5 в точке (-2;1;1).
4. Определить плоскость, касательную к поверхности х2+4у2-z2=36, и параллельную плоскости x+y-z=0.
_________________________
Ответы: 1. а)
2х-9у-8z-15=0
– уравнение касательной плоскости
- уравнения нормали, б) 2х+4у-z=3
– уравнение касательной плоскости;
- уравнение нормали.
2. х+4у+6z=21.
3. -4x+2y+5z+1=0,
.
4. x+y-z=9.