§1.6. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой

Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическимуравнениемкривой.

Если , то , а .

Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R₃своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.

Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:

Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .

________________

1.6.1. Найти , еслиx=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

1.6.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.

Ответ: .

1.6.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t=0; t=1.

Ответ: .

1.6.4. Определить кривизну кривой при t=1.

Ответ: .

Глава 2. Функции нескольких переменных

2.1. Понятие функции нескольких переменных

Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой упорядоченной паре (х,у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из которой области DR² соответствует единственное число z.

Обозначения: z=f(x,y), z=F(x,y), z=z(x,y) и так далее.

Под функцией z=f(x,y)будем понимать также функцию точки М(х,у) с координатами х иу.

Множество D всех точек (х,у), при которых z=f(x,y) имеет смысл, называется областью определения, а множество значений z, принимаемых функцией z=f(x,y) при (x,y)D, называется областью изменения или множеством значений функции. Множеством точек пространства R³с координатами (x,y,z)=(x,y,f(x,y)) при всех (x,y)D, называется графиком функции z=f(x,y).

Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.

Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество всех точек плоскости Оху, в которых функция z принимает постоянное значение, т.е. f(x,y)=С, гдеС – постоянная.

__________________________

Найти и изобразить области определения следующих функций:

1.	z=x2+y2.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	z=x+arccosy.	6.	.
7.	.	8.	.

Построить линии уровня следующих функций:

9.	z=x+y.	10.	.
11.	z=x2-y2.	12.	z=(1+x+y)2.

___________________________

Ответы: 1. Вся плоскость Оху. 2. Плоскость Оху с выколотой точкой О(0;0). 3. Замкнутый круг х²+у²12². 4. Полосы 2nx(2n+1), y0; (2n+1)x(2n+2), y0, nz. 5. Полоса -1у1, хR. 6. Часть плоскости первой четверти, расположенная выше параболы ух(х0). 7. Две полуполосы: 8. Два вертикальных угла, ограниченных прямыми у=х и у=-х и содержащих ось ОY. 9. Линии уровня – прямые х+у=С, а график функции – это плоскость. 10. Линии уровня – равносторонние гиперболы ху=С, С>0 (они расположены в первой и третьей четвертях плоскости). 11. Линии уровня – равносторонние гиперболы. 12. Линии уровня – прямые, параллельные прямой х+у+1=0.