2 Лабораторна робота № 2 Визначення числових характеристик по виборці та інтервальному ряду

2.1. Постановка завдання

1. Знайти основні числові характеристики вибірки: моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, розмах, коефіцієнт варіації, асиметрію, ексцес:

а) по варіаційному ряду;

б) по інтервальному статистичному ряду.

2. Сформулювати попереднє судження про закон розподілу випадкової величини, судячи з наступних міркувань:

а) по виду гістограми частостей статистичного ряду;

б) по числовим значенням моди, медіани та середнього арифметичного, виходячи з властивостей законів розподілу (нормального, експоненціального, рівномірного, логнормального);

в) по емпіричному коефіцієнту варіації;

г) за вибірковими коефіцієнтами асиметрії та ексцесу;

д) за допомогою чисел Вестергарда.

2.2. Теоретичні відомості

Вибіркові оцінки основних числових характеристик випадкової величини X можливо визначити як по вихідним даним (а), так і по згрупованим даним (б).

І. Показники центру розподілу

1. Мода - значення признаку, яке має найбільшу частоту.

а) = х₀ | т₀ = ;

б)

де х₀ - нижня границя модального інтервалу (модальним називається інтервал, який має найбільшу частоту);

, , - частоти відповідно модального, предмодального та постмодального інтервалів.

2. Медіана - значення признаку, яке приходиться на середину упорядкованої сукупності.

, якщо n - непарне

а)

, якщо n - парне

б) , де

- нижня границя медіанного інтервалу (медіанним інтервалом називається перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину загальної суми частот);

- накопичена частота інтервалу, який попереджає медіанний;

- частота медіанного інтервалу.

3.Вибіркове середнє

а) ;

б) .

II. Міри розсіювання

1. Вибіркова дисперсія

а) ;

б) ,

де - поправка Шепарда для другого центрального моменту, яка усуває зміщення (застосовується при нормальному, логнормальному та не застосовується при рівномірному та експоненціальному законах).

2. Вибіркове середнє квадратичне відхилення

.

III. Відносні показники варіації

1. Вибірковий коефіцієнт варіації

V = 100%.

2. Вибірковий коефіцієнт асиметрії - показує наскільки симетрична f(х).

а) б) .

		«хвіст» праворуч
		«хвіст» ліворуч
		симетричне

3. Вибірковий ексцес - показник „гостровершинності” f(х)

a)

б) ,

де поправка Шепарда для четвертого центрального моменту, яка усуває зміщення (застосовується при нормальному, логнормальному та не застосовується при рівномірному та експоненціальному законах).

	нормальний
	гостровершинний
	туповершинний

Проведені розрахунки дозволяють сформулювати попереднє судження про закон розподілу випадкової величини X, виходячи з наступних міркувань:

1) з виду гістограми частостей статистичного ряду. Вид гістограми дає орієнтир на можливий закон розподілу;

2) за числовими значеннями моди, медіани та середнього квадратичного відхилення, виходячи з властивостей законів розподілу (нормального, експоненціального, рівномірного, логнормального);

3) за емпіричним коефіцієнтом варіації. Відомо, що кожному закону розподілу відповідає певний діапазон значень коефіцієнта варіації;

Закон розподілу	Границі	Середнє значення
Нормальний	(0,08 - 0,40)	0,25
Логнормальний	(0,35 - 0,80)	0,68
Експоненціальний	(0,60 - 1,30)	0,92

4) за вибірковими коефіцієнтами асиметрії та ексцесу.

Емпірична функція вважається узгодженою з гіпотетичною функцією, якщо вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу відрізняються за абсолютною величиною від своїх математичних сподівань не більш ніж на три середніх квадратичних відхилення, таким чином якщо, то обраний закон розподілу узгоджується з експериментальними даними. Для нормального закону розподілу . Дисперсії вибіркових коефіцієнтів асиметрії та ексцесу обчислюються за формулами:

.

5. За допомогою чисел Вестергарда. Цей критерій використовується тільки для перевірки близькості емпіричного закону розподілу до нормального.

Числа Вестергарда:

0,3; 0,7; 1,1; 3.

Емпіричний розподіл близький до нормального закону, якщо

в інтервалі ( - 0,3S; + 0,3S) розташовано всій сукупності даних;

в інтервалі ( - 0,7S; + 0,7S) розташовано всій сукупності даних;

в інтервалі ( - 1,1S; + 1,1S) розташовано всій сукупності даних;

в інтервалі ( – 3S; + 3S) - розташовано 0,998 всій сукупності даних.