6.2.2. Частные случаи решения дифференциального уравнения.

Для определения I₀ и φ рассмотрим частные случаи решения (3) с привлечением векторной диаграммы тока и напряжений.

1 . Электрическая цепь с резистором (рис.2).

Рис. 2

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

Разделяя переменные и выполняя операцию интегрирования, получим:

(5)

где

– амплитуда тока

Сравнивая (5) с внешним напряжением U, приходим к выводу: колебания напряжения и силы тока в цепи с активным сопротивлением R проходят в одной фазе (напряжение и сила тока одновременно достигают своих минимальных и максимальных значений).

2 . Электрическая цепь с индуктивностью L (рис.3).

Рис.3

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

Интегрируя последнее выражение, получим

,

или

Выполняя повторное интегрирование, приходим к закону изменения силы тока во времени:

, (6)

где – амплитуда тока.

Из (6) следует, что в цепи с индуктивностью L сила тока отстает в своем изменении во времени от напряжения на угол π/2.

3 . Электрическая цепь с емкостью C (рис.4).

Рис. 4

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид:

Откуда

, (7)

где – амплитуда тока.

Из (7) следует, что в цепи с емкостью C сила тока в своем изменении во времени опережает напряжение на угол π/2.

6.2.3. Векторная диаграмма тока и напряжений амплитудных значений. Закон Ома для цепи переменного тока.

Построим векторную диаграмму тока и напряжений для электрической цепи последовательно соединенных R, L, и C (рис.1)

За ось диаграммы примем ось тока (рис.5), на которой от начала диаграммы отложим амплитуду тока I₀ (в последовательной цепи R, L, и C сила тока одна и та же для всех элементов).

Рис. 5

На активном сопротивлении R (резисторе) напряжение по фазе совпадает с током, а его амплитудное значение U_0R=I₀R отложим на оси тока.

На индуктивности напряжение опережает ток на π/2 (угол +π/2 отсчитывается против часовой стрелки), а амплитуда напряжения U_0L=ωLI₀

На емкости напряжение отстает от тока на π/2 (угол –π/2 отсчитывается по часовой стрелке), а амплитуда напряжения U_0С=(1/ωС)I_0.

Как видно из рис.5 результирующее напряжение:

а его величина:

,

или

,

откуда

(8)

Формула (8) есть закон Ома для цепи переменного тока. В отличие от закона Ома для постоянного тока, выражение (8) справедливо только для амплитудных значений силы тока и напряжения.

Отметим также, что ввиду инерционности электрические приборы фиксируют так называемые эффективные значения силы тока и напряжения, которые в раз меньше амплитудных, т.е. I_эф=I₀/ и U_эф=U₀/

Следовательно (8) можно представить в виде:

(9)

Из векторной диаграммы (рис.5) следует, что в общем случае изменение напряжения не совпадает по фазе с изменением силы тока, так, что имеется сдвиг фаз (угол φ), величину которого можно рассчитать по формуле:

(10)