§2. Сходимость в метрических пространствах. Полнота.
Определение 12. Открытым шаром B(х0, r) в метрическом пространстве (Х,ρ) называется совокупность точек х ϵ Х, удовлетворяющих условию ρ(х0 , х)<r. Замкнутым шаром B[х0, r] в метрическом пространстве (X, ρ) называется совокупность точек х ϵ Х, удовлетворяющих условию ρ(х0 , х)≤r, где х0 называется центром, число r - радиусом шара.
Замечание. Открытый шар радиуса ε с центром в точке х0 называется также ε-окрестностью точки х0. Запись: Оε(х0)
Пример 1.
В пространстве действительных чисел с метрикой ρ(х,у)=|х-у| открытый шар В(х0,r)
интервал: |х- х0 |<r или х0-r<x< х0+r
x0
x0+r
х0
-
r
Пример 2.
В пространстве C[a,b] - непрерывных на [a,b] функций с
Шар В0(х,r) определен неравенством
r
или х0(t)-r < x(t) < x0(t)+r , - совокупность функций, непрерывных на [a,b] и таких, что их значения не выходят за пределы полосы шириной 2r, (x0(t)-r, x0(t)+r), tϵ[a,b].
Замкнутый шар B[x0(t),r] в C[a,b] - совокупность функций, значения которых на [a,b] удовлетворяет неравенству x0(t)-r≤x(t)≤x0(t)+r
Определение
13.
Последовательность
{xn}
точек метрического пространства (Х,ρ)
называется сходящейся, если
или
.
Иначе:
каждая
содержит все точки последовательности
{xn},
начиная с некоторой.
Определение
4.
Последовательность
{
}
- точек метрического пространства (X,
)
называется фундаментальной, если она
удовлетворяет критерию Коши.
Замечание. Если последовательность {xn} сходится, то она фундаментальная.
Действительно, пусть {xn}-сходящаяся, тогда
Возьмем
m>N, n>N
и,
следовательно, {xn}
-
фундаментальная.
Определение
5. Если
в метрическом пространстве (Х,
всякая
фундаментальная последовательность
сходится, пространство называется
полным.
Пример 3.
Пусть (Х, ) - пространство всех действительных чисел с . Полнота (Х, ) известна из математического анализа.
Пример 4.
(Х, ) - пространство изолированных точек
Фундаментальными в этом пространстве являются только стационарные последовательности
Всякая такая последовательность
Пример 5.
(X,ρ) - множество упорядоченных наборов
x=(x1...xn)
c ρ2(x,y)=
)
Покажем,
что (X,ρ)=
- полное метрическое пространство.
Пусть
{x(p)}
- фундаментальная последовательность
т.е.
последовательность
- фундаментальная, и т.к. метрическое
пространство действительных чисел
полно, то
- сходится
Полагаем
и рассмотрим x=(x1,...,xn)
Упражнение 1.
R0=(X,
)
- метрическое пространство всех
упорядоченных наборов n
чисел x=(x1,...,xn)
c
метрикой
.
Доказать, что R0 - полно.
Упражнение 2.
R1=(X,ρ) - метрическое пространство всех упорядоченных наборов n чисел с метрикой
Показать, что R1 – полно.
§3. Принцип сжатых отображений.
Определение
21.
Пусть
R-метрическое
пространство, А:R
R,
А называют сжимающим оператором если
α˂1
ρ( Ах , Ау)≤ αρ(х,у).
Теорема
2. (принцип сжатых отображений)
Пусть
R-
полное метрическое пространство, А:R
R,
А- сжимающий оператор следовательно
уравнение
имеет и притом единственное решение
(существует и притом единственная
неподвижная точка оператора А).
Доказательство. Пусть x принадлежит R (x-произвольная).
Положим
Последовательность
– фундаментальная.
Действительно, если m ≥ n, то
ρ(
)=
ρ(
)
≤ αρ(
)≤
………………………………………………
≤
ρ(
)=
ρ(
)≤
≤
≤
≤
≤
………………………………………………
≤
≤
≤
≤
≤
ρ(
≤
Где
= сумме
-го
члена геометрической прогрессии.
≤ α
≤ α
= α
≤
………………………………………………
≤ … ≤
и
последовательность
– фундаментальная
– сходится к
.
-полно.
Докажем,
что
– решение уравнения
(3.1)
Рассмотрим
т.
к.
, то
.
Возьмем
Следовательно
Значит
и
– решение уравнения (3.1).
Докажем, что -единственное решение.
Пусть
.
Рассмотрим
и
– единственное решение уравнения
.
Замечание. Справедлива оценка
(3.2)
Действительно, при доказательстве того, что последовательность – фундаментальная, было получено неравенство:
(3.3)
Перейдем
в (3.3) к
и
получим
формула для оценки погрешности от замены решения уравнения (3.1) его приближением .
В качестве применения принципа сжатых отображений рассмотрим метод итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.