§4. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестных:

(1)

, ,

Когда говорят о численных методах, имеют в виду решение с привлечением вычислительных средств.

Численные методы делятся на точные и итерационные.

Определение 23. Точными называют такие методы, которые в предположении отсутствии округлений дают точное решение задачи после выполнения конечного числа арифметических и логических операций.

Определение 24. Итерационными методами называют методы, которые дают точное решение задачи как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным способом.

В (1) обозначим

,

- система запишется в виде матричного уравнения

или

, или

(2)

Решение системы (1) равносильно нахождению неподвижной точки оператора метрического пространства упорядоченных наборов n действительных чисел в себя.

В - метрическом пространстве с условие сжатости оператора имеет вид

Действительно,

Оператор является сжимающим в , если (3)

Упражнение 1. Вывести условие сжатости в , где

. (4)

Упражнение 2. Вывести условие сжатости в , где

. (5)

Таким образом, если выполняется хотя бы одно из условий (3), (4) или (5), решение уравнения (2) ( а, следовательно, системы (1) ) можно находить как предел последовательности.

- произведение

в соответствующем пространстве , , , в зависимости от того, какое из условий (3), (4) или (5) выполняется.

Замечание 1. Если число уравнений в системе (1) равно , принцип сжатых изображений неприменим.

Действительно, в этом случае при , , ,

Пример.

Методом простой итерации решить систему

(3.9)

Точное решение: , , ,

, , ,

,

, ,…., расходится.

Достаточное условие не проверили:

поэтому и последовательность итераций расходится.

Перепишем (3.9) в виде :

Выбор первого элемента последовательности влияет не число итераций. Обычно в качестве первого приближения выбирают столбец свободных членов.

§4.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения .

Напомним формулировку Теоремы 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения .

Теорема 1.

Пусть в уравнении

1. Функция непрерывна в области

2. удовлетворяет условию Липшица по y:

Тогда существует и притом единственное в решение уравнения (4.1) такое, что , (4.2)

где

Доказательство.

Рассмотрим совокупность всех функций , определенных и непрерывных на с расстоянием

C — метрическое пространство (было доказано).

С—полно (примем без доказательства).

Дифференциальное уравнение (4.1) с начальным условием (4.2) заменим эквивалентным уравнением

Учтем следующую Теорему:

Если интегрируема на , то

Непрерывна на .

Положим

Оператор

A ставит в соответствие всякой функции , непрерывной на и не выходящей из области G, непрерывную функцию , график которой не выходит из области G.,т.к.

и следовательно, .

Оператор А-сжимающий.

Действительно

Оценим

Возьмем максимум от обеих частей:

Выберем h так, чтобы , тогда оператор А—сжимающий существует и притом единственное решение уравнения

т.е. единственное решение задачи Коши (4.1) и (4.2). (его можно найти методом простых итерации)

Пример 2.

Найти несколько приближений к решению дифференциального уравнения

на

Имеем

Пусть

Последовательность , сходится к точному решению задачи Коши: