§2. Линейные дифференциальные уравнения порядка n .

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных , т.е. уравнение вида

(2.1)

Если уравнение (2.1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка , (левая часть уравнения является однородной функцией первого порядка относительно ).

Если , то, разделив на обе части (2.1), приведем уравнение (2.1) к виду

(2.2)

Для уравнения

(2.3)

Задача Коши ставится следующим образом:

Требуется найти решение уравнения (2.3), удовлетворяющее начальным

условиям .

Приведем без доказательства теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения порядка .

Теорема 1. Если в дифференциальном уравнении (2.2) коэффициенты , и функция непрерывны на , то при любых начальных условиях

(2.4)

существует и притом единственное в некотором промежутке решение уравнения (2.2), удовлетворяющее начальным условиям (2.4).

Обсудим сначала линейное однородное уравнение:

(2.5)

Обозначим через совокупность всех функций, непрерывных на вместе со своими производными до порядка включительно, через - совокупность всех функций, непрерывных на .

Было доказано, что - линейное пространство.

Самостоятельно докажите, что тоже является линейным пространством.

Левую часть в (2.5) обозначим через :

.

Последнее равенство определяет оператор ; назовем его дифференциальным оператором.

Утверждение. Оператор L – линейный.

В самом деле, пусть - произвольное действительное число.

Имеем

.

Пусть , тогда

и L – линейный.

Теорема 2. Любая линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения (2.5) является решением (2.5).

Доказательство. Достаточно убедиться, что сумма любых двух решений линейного однородного дифференциального уравнения (2.5) является решением (2.5) и произведение любого решения на число является решением (2.5).

Пусть - решения (2.5). Рассмотрим

решения (2.5) ⇒ ⇒ – решение уравнения (2.5).

Пусть - произвольное решение уравнения (2.5), - произвольное действительное число, рассмотрим .

Имееем

=0, (L-лин., => - решение (2.5).

Итак, любая линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения является решением этого уравнения.

Теорема 3. Если линейное однородное дифференциальное уравнение (2.5) с действительными коэффициентами , имеет комплекснозначное решение являются решениями (2.5).

Доказательство. По условию Но, так как L – линейный оператор, ]=L[u]+iL[v]. Отсюда (т.к. комплексное число ) получаем , а это и означает, что и - решения уравнения (2.5).

Напоминание. Функции называются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Если из равенства , следует, что , то функции называются линейно независимыми на отрезке [a,b].

В данном случае мы всего лишь “прочитали” знакомое нам определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов в произвольном линейном пространстве V применительно к пространству ( или ).

Пример 1. Функции линейно независимы на любом отрезке [a,b] (пример обсуждался в прошлом семестре).

Пример 2. Функции (2.6)

при , если , линейно независимы на любом отрезке [a,b].

Действительно, допустим, что система функций (2.6) линейно зависима, т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что

(2.7)

Пусть для определенности Разделим обе части (2.7) на :

и продифференцируем:

(2.8)

Разделим обе части (2.8) на :

,

продифференцируем:

,

и так далее (n-1) раз. После (n-1) – го шага имеем:

( , )

противоречие функции при

если ,составляют линейно независимую на любом отрезке систему.

Пример 3. Доказать, что функции

,

,

…………………………………

,

где при , линейно независима на любом отрезке [a,b].

Определение 3. Определителем Вронского системы функций на отрезке [a,b] называется функция

Теорема 4. Если система функций линейно зависима на отрезке [a,b] , то определитель Вронского этой системы равен 0: .

Доказательство. По условию найдутся числа , не все равные нулю одновременно, что

(2.9)

Дифференцируем равенство (2.9) (n-1) раз и объединяем получившиеся равенства в следующую систему уравнений

……………………………………………………….. (2.10)

Система (2.10) – система линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных , и по предположению имеет ненулевое решение (т.к. не все , равны нулю).

Это означает, что определитель системы (2.10) (См. теорию систем линейных алгебраических уравнений), т.е.

=

И теорема 4 доказана.

Теорема 5. Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение

=0, (2.11)

коэффициенты – непрерывные на [a,b] функции.

Пусть – решения уравнения (2.11), линейно независимые на [a,b].

Тогда .

Доказательство. Доказательство поведем от противоположного. Допустим, . Рассмотрим систему уравнений, для которой является определителем:

(2.12)

Система (2.12) – система n линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными .

Определитель системы (2.12) система имеет бесчисленное множество решений, - существует решение .

Рассмотрим функцию .

По теореме 2, - решение уравнения (2.11) (линейная комбинация решений). В точке имеем: ( в силу (2.12)).

Таким образом, функция – решение уравнения (2.11), удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Однако, функция тоже является решением уравнения (2.11) и тоже удовлетворяет нулевым начальным условиям.

Привлекая теорему 1 о существовании и единственности решения задачи Коши, делаем вывод, что , или , (причем не все равны нулю одновременно). Последнее равенство означает, что - линейно зависимы на [a,b], что противоречит условию теоремы .

Теорема 6. (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения).

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+…+p_n(x)y=0, (2.14)

коэффициенты p_i(x),i=1,…,n, непрерывны на [a,b]. Функции y₁(x), …, y_n(x),

- решения (2.14), линейно независимые на [a,b].

Тогда y_общее = с₁y₁(x)+…+c_ny_n(x), (2.15)

где ,- произвольные действительные постоянные.

Доказательство. Доказать, что (2.15) – общее решение уравнения (2.14) , означает доказать, что любое решение уравнения (2.14) можно записать в виде(2.15).

Возьмем одно решение (2.14), поставив задачу Коши.

Пусть заданы начальные условия:

y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y’₀,…, y^(n-1)(x₀) = y^(n-1)₀ (2.16)

функция (2.15) при любых c₁,…,c_n является решением (2.14) (Теорема 2).

Потребуем, чтобы (2.15) удовлетворяла начальным условиям (2.16):

(2.17)

Система (2.17) – система линейных алгебраических уравнений относительнo c₁,…, с_n с определителем

=> система (2.17) имеет единственное решение с₁,… ,с_n.

Таким образом, для того единственного решения, которое соответствует начальным условиям (2.16), нашёлся единственный набор коэффициентов с₁,… ,с_n в записи (2.15).

Итак, любое решение уравнения (2.14) может быть записано в виде (2.15) => (2.15) общее решение дифференциального уравнения (2.14).

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y’’ – y = 0. (2.18)

функции y₁=e^х и y₂ = e^-х являются решениями (2.18) (проверяем непосредственной подстановкой в уравнение (2.18)).

Они линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к.

(можно также сослаться на Пример 2: экспоненты с различными показателями линейно независимы на любом отрезке [a,b] ).

По Теореме 6 имеем

y_общее =с₁e^x + c₂e^-x.

Следствие (из Теор.6). Максимальное число линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения равно его порядку.

Доказательство проведём от противного. В самом деле, пусть у₁, … , у_n , y_n+1- линейно независимые решения дифференциального уравнения (2.14). Подсистема у₁, … , у_n , системы у₁, … , у_n , y_n+1- тоже линейно независима. Тогда ( Теорема 6) найдутся числа с₁, … , с_n :

У_n+1=c₁y₁ + … + c_n y_n и система функций у₁, … , у_n , y_n+1 окажется линейно зависимой => противоречие.

Определение 4. Любые n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называются его фундаментальной системой решений.

( В примере 4 функции у₁ = e^x и у₂= e^-x – ф.с.р. для дифференциального уравнения (2.18)).