17 . Визначники. Ранг матриці

Розглянемо квадратну матрицю п-го порядку:

A =

Кожній такій матриці можка поставити у відповідність число, яке обчислюється за певним правилом і називається визначником (детермінантом) матриці. Визначник матриці А позначають | А | або det A.

Правило, за яким обчислюють визначник, залежить від порядку матриці. Визначником матриці першого порядку А = (а₁₁), або визначником першого порядку називається елемент а₁₁ тобто | А |= а₁₁.

Визначником матриці другого порядку, або визначником другого порядку називається число, яке обчислюють за формулою

ІНШИМИ словами, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів гооловної та побічної діагоналей.

Визначником матриці третього порядку або визначником третього порядку називають число, яке обчислюють за формулою

= а₁₁а₂₂а₃₃ +а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а_3] - а_]2а₂₁а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂. (1.5)

Кожний доданок у правій частині формули (1.5) містить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця матриці А. Три перші доданки є добутками елементів, розміщених на головній діагоналі (а₁₁а₂₂а₃₃), й елементів, розміщених у вершинах двох рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі (а₁₂а₂₃а₃₁ і а₁₃а₂₁а₃₂) (рис.1.1.). Три інші доданки зі знаком мінус є добутками елементів побічної діагоналі (а₁₃а₂₂а_3]) і елементів, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні побіч­ній діагоналі ( а_]2а₂₁а₃₃ і а₁₁а₂₃а₃₂) (рис.1.2)

(+) (-)

Рисі.1.1 Рис. 1.2

Таку схему обчислення визначника третього порядку називають правилом трикутників.

-З о!

Л 1

Визначником матриці п-го порядку А=(а_ij), i,j=1,...,n, або визначником п-го порядку називають число, яке дорівнює алгебраїчній сумі п! доданків, кожен з яких є добутком п елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка й кожного стовпця, причому знак кожного доданка визначається множником (-1)^t, де t - число інверсій у перестановці з номерів стовпців матриці, якщо номери рядків записати у порядку зростання, тобто

(1.6)

Де підсумовування здійснюється за усіма перестановками (j₁, j₂, …,j_n).

Проте для обчислення визначників високих порядків формула (1.6) є непрактичною, бо з ростом порядку п матриці А швидко зростає кількість доданків у правій частині (1.6).

Як правило, для обчислення визначників високих порядків використовується

теорема Лапласа. Для її формулювання введемо поняття мінора та алгебраїчного доповнення елемента матриці.

Мінором М_іj елемента а_іj квадратної матриці А порядку п називають визначник порядку п-1, утворений з матриці А вилученням i-го рядка j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням А_іj елемента а_іj матриці А порядку п називають

його мінор, взятий зі знаком (-1)^i+j, тобто

A_ij=(-1)^i+jM_ij

Теорема Лапласа. Визначник матриці п-го порядку дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Властивості визначників:

1. якщо транспонувати матрицю то її визначник не зміниться.

2. якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпці) то він змінить знак на протилежний

3. якщо всі елементи будь- якого рядка (стовпця) визначника помножити на довільне число k, то визначник також помножиться на число k.

4. якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

5. якщо кожен елемент і-го рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник розкладається на суму двох визначників, у одного з яких і-тий рядок (стовпець) складається з перших доданків а у другого - з других, інші елементи усіх трьох визначників однакові.

6. якщо визначник матриці містить два однакові рядки (стовпці) то він дорівнює нулю. _-(1.7)

7. Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то він | дорівнює нулю.

Доведення. Якщо винести коефіцієнт пропорційності за знак визначника (згідно з властивістю 3), то одержимо визначник з двома однаковими рядками (стовпцями), який за попередньою властивістю дорівнює нулю.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) цього визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помно­жені на одне й те саме число.

Доведення. Отриманий в результаті такого додавання визначник згідно з властивістю 5 можна розкласти на суму двох визначників, перший з яких співпадає з даним, а інший має два пропорційні рядки (стовпці), а тому за властивістю 7 дорівнює нулю.

Обчислюючи конкретний визначник, використовуючи властивість 8, можна зробити так, щоб в деякому його рядку (стовпці) тільки один елемент був відмінний від нуля. Тоді розклад за елементами цього рядка (стовпця) міститиме один доданок і зведе обчислення визначника п-го порядку до обчислен­ня визначника (п-1) -го порядку (мінора, що міститься у вказаному доданку)

Ранг матриці

Нехай А=(а_ij) і= 1,2,...,m; j = 1,2,..., n - прямокутна матриця порядку m п. Виділимо в ній довільні к рядків і к стовпців, де к . Визначник k-го порядку, утворений з елементів, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором к-го порядку матриці А (при цьому як рядки, так і стовпці цього визначника мають бути один відносно одного у тому ж порядку, що й в матриці А). Наприклад, з матриці порядку 3 4 можна утворити міиори першого, другого та третього порядків.

Ціле число r > 0 називають рангом матриці А, якщо серед її мінорів r-го порядку є принаймні один, відмінний від нуля, а всі мінoри, порядок яких біль­ший ніж r, дорівнюють нулю. Ранг нульової матриці за означенням дорівнює нулю. Ранг матриці А позначатимемо r(А).

З означення рангу матриці випливає що '""

1. ранг матриці А порядку m п не перевищує меншого з її розмірів, тобто r(А)

2. r(А) = 0 тоді і тільки тоді, кол и А=0.

3) ранг квадратної матриці А п-го порядку дорівнює п тоді і тільки тоді, коли матриця А невироджена.

Обчислення рангу матриці в такий спосіб є досить громіздким. Більш зручним для обчислення рангу матриці є метод, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не зміниться., якщо над нею виконати елементарні перетво­рення, до яких належать:

1. вилучення нульового рядка (стовпця);

2. множення всіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці на число, відмінне від нуля;

3. зміна порядку рядків (стовпців);

4. додавання до кожного елемента деякого рядка (стовпця) відповідних

5. елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число;

6. транспонування матриці.

За допомогою елементарних перетворень довільну ненульову матрицю можна звести до східчастого вигляду, тобто до матриці вигляду.

Алгоритм обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень може бути таким:

1) якщо а₁₁=0, то поміняємо місцями перший рядок з деяким іншим й досягаємо того, що а₁₁ 0;

2) якщо а₁₁ 0, то помноживши послідовно елементи першого рядка на числа , і додаючи їх відповідно до елементів другого, третього,..., т-го рядка, досягаємо, що всі елементи першого стовпця, які розміщені нижче елемента а₁₁, стануть рівними нулю. Якщо деякий елемент першого стовпця, що розміщений нижче а₁₁, вже рівний нулю, то відповідний рядок залишаємо без змін;

3) якщо в результаті таких перетворень всі елементи деякого рядка (стовпця) перетворились в нуль, то цей рядок (стовпець) вилучаємо;

4) дії описані в пунктах 1-3 для елемента а₁₁, повторюємо для кожного ц-меита а_kk, доки не зведемо матрицю до східчастого вигляду.

31