12. Зведення квадратичних форм до канонічного виду.

Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.

Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа. Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі , але для деяких номерів і , то застосувавши невироджене лінійне перетворення змінних при , отримаємо, що член квадратичної форми набуде вигляду , це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по змінній і . Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься в при . Таким чином, в квадратичній форма є члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній формі є член з квадратом змінної , тобто . Згрупуємо в всі члени, які містять , і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що

де – квадратична форма від змінних .

Введемо нові змінні , ,…, . Для нових змінних квадратична форма набуде вигляд . З квадратичною формою можна поступити аналогічно. Через крок ми прийдемо до канонічної форми . Нехай –матриця послідовно виконаних відображень змінних; –матриця квадратичної форми, –діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формула набуває вигляд .

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду

Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних . В результаті квадратична форма набуде вигляду . Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.

13. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Поняття групи, підгрупи.

Групоїд — це множина з однією визначеної в ній бінарною операцією.Множина із заданою в ній бінарною асоціативною операцією н6азивається півгрупою.Півгрупа з одиничним елементом називається моноїдом. Моноїд, в якому введена операція множення, називається мультиплікативним; моноїд, в якому введена операція додавання,— адитивним. Моноїд, всі елементи якого оборотні, називається групою.

Групою називається непорожня множина , в якій виконуються такі аксіоми:

1. в множині задана бінарна операція:

2. введена операція є асоціативною:

3. множина володіє єдиним одиничним елементом:

4. для кожного елемента множини в цій же множині існує до нього обернений : .

Якщо задана в групі операція є комутативною, то група називається комутативною ( абелевою ). За аналогією до моноїда, група за множенням називається мультиплікативною.

Підгрупою групи називається підмножина цієї групи, яка сама утворює групу по відношенню до тієї ж операції, яка задана в групі.

Перевірка того, чи задана підмножина групи утворює її підгрупу включає:

1. чи міститься в результат бінарної операції елементів із ;

2. чи містить обернені до будь-яких своїх елементів.

Циклічні групи.

Важливим прикладом підгрупи є циклічні підгрупи.

Нехай –деяка група, –один з її елементів. Позначимо символом підмножину групи , яка складається з усіх степенів елемента . Підмножина утворює підгрупу групи , оскільки:

1. множення не виводить за межі елементів виду : ;

2. існує нейтральний елемент ;

3. для всіх елементів .

Підгрупа , яка складається із всіх степенів елемента групи , називається циклічною підгрупою групи , породженою елементом .

Можливі два випадки:1) усі степені елемента є різними елементами групи . При цьому елемент називається елементом нескінченного порядку;2) серед степенів елемента є рівні між собою, тобто при . Як правило, цей випадок має місце у скінченній групі

Мінімальний додатній показник елемента , при якому , називається порядком елемента , а сам елемент –елементом -го порядку.

Якщо є елементом -го порядку, то породжена ним циклічна підгрупа складається з елементів.

Озн. Група називається циклічною, якщо вона складається з степенів одного із своїх елементів (тобто, якщо вона співпадає з будь-якою своєю підгрупою ). Елемент називається твірним елементом циклічної групи = .

Кожна циклічна група є комутативною, оскільки .

Теорема 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел.

Доведення. Нехай –циклічна група, породжена елементом . Доведемо, що . Поставимо у відповідність елементу групи ціле число : . Тоді із того, що , випливає, що . Отже, –гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, –ізоморфізм.

Теорема 2. Кожна скінченна циклічна група порядку ізоморфна мультиплікативній групі коренів -го степеня з одиниці.

Доведення. Нехай – скінченна циклічна група порядку . Поставимо у відповідність кожному елементу цієї групи елемент : , де – перший з коренів із одиниці. Тоді із того, що , , випливає , . Звідки випливає, що –гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, –ізоморфізм.

Теореми 1,2 показують, що всі циклічні групи по суті вичерпуються адитивною групою цілих чисел і мультиплікативною групою коренів -го степеня з одиниці.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи сама циклічна.

Доведення. Нехай –довільна циклічна група з твірним елементом , –деяка її підгрупа (не одинична, бо одинична підгрупа завжди циклічна). Виберемо в підгрупі найменший із додатніх степенів елемента . Нехай ним буде –мінімальне. Покажемо, що він є твірним елементом підгрупи , яка буде циклічною. Нехай довільний елемент . Тоді , де . В цьому випадку в підгрупі буде міститися елемент , який менший за , що неможливо, крім . Таким чином, . Отже, довільний елемент підгрупи є степенем . Це означає, що підгрупа циклічна з твірним елементом .

Фактор-група.

Нехай – довільна нормальна підгрупа групи . Оскільки кожний лівий суміжний клас групи за нормальною підгрупою збігається з правим суміжним класом , то говоритимемо тільки про суміжні класи групи за нормальною підгрупою .

Суміжний клас , породжений елементом із , позначаємо . Введемо в множині суміжних класів операцію множення (як множення деяких підмножин групи ). Нехай , .

Розглянемо добуток

.

Таким чином, добуток двох суміжних класів групи за нормальною підгрупою є суміжним класом за . Для знаходження добутку двох класів за треба в кожному із цих класів вибрати по одному представнику і взятий той суміжний клас, до якого належить добуток вибраних представників.

Теорема. Множина суміжних класів групи за нормальною підгрупою утворює мультиплікативну групу, яку називають фактор-групою групи за нормальною підгрупою і позначають .

Доведення:

а) асоціативність множення суміжних класів випливає із асоціативності множення підмножин групи;

б) суміжний клас відіграє роль одиничного суміжного класу. Дійсно, для будь-якого :

1) ;

2)

в) для кожного суміжного класу існує обернений суміжний клас . Дійсно,

;

.

Отже, .Теорему доведено.

Властивості фактор-групи.

1. Кожна фактор-група комутативної групи є комутативною.

Доведення. . Розглянемо фактор-групу , елементами якої будуть . .

2. Кожна фактор-група циклічної групи теж циклічна.

Доведення. Нехай –циклічна група, породжена елементом , тобто . Розглянемо фактор-групу : . Оскільки циклічна, то . Звідси . Отже, –циклічна фактор-група, породжена елементом або .

3. Порядок будь-якої фактор-групи скінченої групи є дільником порядку цієї групи.

Кількість суміжних класів, які утворюються при розбитті групи за підгрупою , називається індексом підгрупи в групі . Іншими словами, індекс підгрупи в групі є порядком фактор-групи .