8. Лінійний простір. Приклади лінійних просторів. База, вимірність, інваріантність вимірності.

Лінійні простори.

Озн. Лінійним простором називається множина елементів така, що визначені 2 операції: 1) опер. Додавання , яка полягає в тому, що якщо , то .

2) опер. Множення деякого числа із деякого числового поля на елемент з множ також належить множ. :

Аксіоми:

1. 2. 3. , де - нульовий елемент лінійного простору. 4. , де - протилежний до .

5. 6. 7. 8.

Приклади лінійних просторів.

1. Множина всіх неперервних ф-цій визнач. на відрізку утв. Лінійний простір із звичайною операцією додав.2-х ф-цій , та опер. Множення ф-ції на довільне число з числового поля . ( )

2. простір елементами якого є вектори , де - координати вектора. Під нульовим елем. У цьому просторі розуміють -ку таких нулів. Елем. Протилежний до є елем. ю

3. Простір - многочленів степеня не вищого за . Елем. Цього простору будуть: .

База, вимірність

Озн. Елем назив. Лінійно залежними, якщо лін. Комбінація коли принаймі 1 елем. . В іншому вип. ці елем наз лінійно незалежними елем. лінійного простору. Тому наз лін незал. якщо .

Озн. Лінійний простір А наз n-вимірним лін. прост. якщо серед елем. цього простору можна виділити щонайбільше n лін. незал. елем., а довільна сукупність із елем. цього простору утв. лін. залежн. с-му. n лін. незал елем. простору А утворюють базис цього простору.

Інваріантність вимірності.

Твердження. Всі бази містять однакову к – ть елементів.

Лема про заміну. Нехай – лінійний простір, у якому дано базу:

та ,

тоді можна замінити один з векторів на так, що отримана система також буде базою.

Виразимо вектор як

.

Принаймні один із множників є відмінними від нуля. Інакше було б і система не була б лінійно незалежною.

Нехай, наприклад, .

Замінимо відповідний вектор на і отримаємо: . Доведемо, що вона є базою.

.

Оскільки вектори – лінійно незалежні, то всі множини перед ними дорівнюють нулю.

Оскільки , то

Отже, єдиною нульовою комбінацією векторів з – тривіальна комбінація і ця система лінійно незалежна. Оберемо довільний вектор .

Підставивши у вираз для отримаємо запис вектора через ю

Отже, це база.

Припустимо, що маємо бази з різною к – тю елементів.

З допомогою леми можна замінити n з m елементами 1– ї бази на вектори

.

Але теж база, тому можна виразити через , що суперечить незалежній системі . Отже, не можуть існувати бази з різною к – тю елементів.

9.Лінійні оператори. Характеристичне рівняння, спектр, слід, мінімальний многочлен, власні значення і власні вектори лінійного оператора.

Оператор , який діє з в називається лінійним, якщо для будь-яких векторів , , виконується :

1. ( + )= +

2. ( ) =

Дії над лін. операторами:

Нехай і 2 лінійні оператори , що діють з в .Сума лінійних операторів і назив. Оператор + , який визначається рівністю( + ) = + y .Добутком лін. оператора на число назив. оператор , який діє за законом ( ) = ( ). Нульовим лін. оператором назив. оператор 0 , який переводить всі елементи простору в нульовий елемент простору ( ) [0 ]=0. Тотожним або одиничним оператором назив. лін.операторE, який діє за правилом Добутком операторів , назив. оператор , який діє за правилом Нульовий і тотожний оператори є лінійними.

Вектор , який задовольняє співвідношення = назив. власним вектором оператора , а число власним значенням опер. , який відповідає даному власному вектору .Вектор назив. власним , якщо оператором він перетворюється в колінеарний йому вектор.

Теорема: Власні вектори , яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення : 1) Нехай - деяка система власних векторів , яким відповідають попарно різні власні значення .2)Нехай k=1за означенням 0 і система { } лінійно незалежна. 3) припустимо, що дов. система з (k-1)- власного вектора є лін.незалежна.4) доведемо, що лін. незалежною буде і система з k-власних векторів . Припустимо супротивне , тобто,що система власних векторів , яким відповідають попарно різні є лін. залежною , тобто,що оператор ( ….) = , Віднімемо від останньої рівності (1)-ку помножену на

Оскільки вектори системи утворюють лін. незалежну систему, то всі коефіцієнти останньої лін. комбінації =0 Розглянемо зокрема перший з них , Отримана суперечність і доводить теорему.Із теореми випливає , що якщо всі власні значення лін. оператора є попарно різними , то система відповідних цим значенням власних векторів утворюють базу простору цю базу назив. власною базою лін.оператора

( - E)=

Визначник матриці - E є многочленом n-го степеня від цей многочлен назив. характеристичним многочленом матриці ( оператора ) і позначають

Теорема: Характеристичний многочлен матриці не залежить від вибору бази.

Слід матриці це сума її діагональних елементів = . Сума власних значень лінійного оператора = сліду матриці цього оператора. Множина всіх власних значень лін. оператора (характеристичних коренів ) назив. спектром оператора. Спектр назив. простим, якщо всі власні значення різні.

Мінімальний многочлен.

Оскільки лінійні оператори можна додавати, множити на числа і підносити до степеня, то для кожного многочлена , можна отримати оператор . Цей оператор має матрицю, отриману за такою ж ф-ою. Якщо для деякого многочлена і оператора або матриці А маємо (нульовий оператор або матриця), то кажемо, що анулює А.

Означення. Многочлен наз. Мінімальним для А, якщо він має найменший можливий степінь серед всіх мног. зі старшим коеф. 1, які анулюють А.

Твердження. Якщо і мінімальні для А, то .

 Очевидно, що і – однакового степеня. Тому маємо:

тоді теж анулює А і має менший степінь. Поділивши на його старший коеф. маємо многоч. зі старшим коеф. 1, який анулює А, тоді , що суперечить мінімальності. Отже, .

Твердження. Нехай – мінім., а анулює А, тоді ділиться на .

 Зрозуміло, що . Поділимо на з остачею.

, тотожньо не дорівнює нулю. Отже, .

Теорема Гамільтона-Келі. Кожен лін. оператор(матриця) анулюється своїм характер. многочленом.



Доведемо за індукцією по вимірності простору, в якому діє оператор.

Нехай твердження виконується для . Розглянемо випадок, що . Для спрощення вважаємо, що поле скалярів рівне С і кожен многочлен має корінь. Зокрема, характеристичний многочлен має корінь т – власне значення, якому відповідає . Доповнимо його до бази векторами . Матриця оператора має вигляд:

Розглянемо фактор-простір , де – простір всіх векторів, колінеарних з .

.

Інакше кажучи, якщо ~ , то ~ і можемо ввести оператор

Отже, новий оператор діє у просторі . Розглянемо ,

Для теорема Гамільтона – Келлі вже виконується. – характеристичний многочлен матриці .

