2.3.Универсальность постоянной Ричардсона

Величину А₀ называют универсальной постоянной. Слово “универсальная” подразумевает, что постоянная сохраняет свое значение для всех материалов. Можно показать, что это действительно так.

Рассмотрим равновесную изотермическую систему (Т₁=Т₂), состоящую из двух различных электродов с работами выхода ₁ и ₂ (рис.2.3.1). Если существует возможность обмена электронами между ними, например, они электрически соединены, то уровни Ферми в обоих элементах находятся при одной и той же энергии.

Если бы это было не так, то начался бы переход электронов из электрода с более высокой энергией уровня Ферми в электрод с более низким положением этого уровня. Это происходило бы до тех пор, пока они не выровняются. В результате на поверхности электродов появляются дополнительные заряды, создающие в промежутке между электродами электрическое поле. Из энергетической схемы, приведенной на рис.2.3.1 видно, что потенциальная энергия электронов в вакууме в непосредственной близости от каждой из поверхностей различна:

U₁=E_F+₁ - у поверхности первого эмиттера (2.3.1)

U₂=E_F+₂ - у поверхности второго эмиттера (2.3.2)

Или, потенциальная энергия электронов у поверхностей различается на величину:

U₁ -U₂=₁ -₂ (2.3.3)

Это означает, что даже в случае заземленных электродов в промежутке между ними существует электрическое поле – контактная разность потенциалов, напряженность которого в случае плоских электродов , где d - расстояние между ними.

К

Рис.2.3.1. Энергетическая схема для двух металлов, контактирующих друг с другом. В равновесии уровни Ферми выравниваются.

ак было показано выше, электронный газ, существующий в промежутке можно считать идеальным. Пусть расстояние между электродами настолько велико, что концентрация электронного газа в вакууме у поверхности каждого из эмиттеров определяется лишь свойствами соответствующего материала. Поскольку считаем систему термически равновесной, то должно выполняться распределение Больцмана, согласно которому концентрация электронов в каждой точке пространства зависит от потенциальной энергии частиц:

, (2.3.4)

где С* - некоторая постоянная. Из этого следует выполнение следующего соотношения между концентрациями электронного газа у поверхностей эмиттеров:

(2.3.5)

C другой стороны, существует равновесие между электронным газом у поверхности и электронной подсистемой внутри твердого тела, что выражается в равенстве эмитированного поверхностью потока потоку электронов, входящих в твердое тело. Используя (2.2.3) и (2.2.4) получаем:

(2.3.6)

Поскольку температура везде одинакова, то . Поэтому:

(2.3.7)

Последнее выражение можно переписать в виде, в котором каждая из частей зависит исключительно от индивидуальных свойств только одного из электродов:

(2.3.8)

При выводе никаких предположений о природе эмиттера не делалось, а это означает, что полученное соотношение должно выполняться для любого материала. Следовательно, каждая из частей равенства должна быть равна некоторой функции, которая может зависеть только от температуры:

(2.3.9)

Сравнивая (2.3.9) с (2.2.20) получаем:

(2.3.10)

Из этого и следует справедливость утверждения, что А₀ - универсальная постоянная. Следует еще раз подчеркнуть, что в приведенном рассуждении нигде не использовались характеристики материалов электродов, что означает справедливость сделанного вывода не только для металлов, но и для полупроводников, и для диэлектриков.