2.7.Особенности термоэлектронной эмиссии с полупроводников

О

Рис.2.7.1.Взаимодействие заряда q, находящегося у границы раздела двух сред с различными диэлектрическими постоянными, со средой 2 может быть описано введением его зеркального изображения q₂.

пределение работы выхода как энергии, необходимой для удаления электрона с уровня химического потенциала, является общим, оно применимо для материалов любого типа. В полупроводниках этот уровень обычно располагается в запрещенной зоне, где нет разрешенных для электронов состояний. Однако это не вызывает затруднений. Например, удаление электрона из зоны проводимости приводит к нарушению термически равновесного распределения. Для его восстановления необходим перевод электронов из энергетически ниже расположенных состояний, на что требуется затратить некоторую порцию энергии. В результате, с какого бы уровня не удалялся электрон, при адиабатическом осуществлении процесса требуется затратить энергию, равную энергии перевода электрона с уровня Ферми на уровень вакуума. Это не зависит от наличия или отсутствия разрешенных для электронов состояний в области химического потенциала.

Можно полагать, что механизмы формирования величины  в случае полупроводников не отличаются от таковых в случае металла. Однако есть особенности. В отличие от металлов проводимость полупроводников нельзя считать бесконечно большой, что приводит к ряду следствий. Прежде всего, изменяется работа по преодолению сил зеркального изображения.

Пусть имеется две среды с разными диэлектрическими постоянными ₁ и ₂ (рис.2.7.1). В классической электростатике показывается, что реакция второй среды на появление заряда q в первой может быть описана в рамках модели сил зеркального изображения. При этом величина зеркального заряда, располагающегося во второй среде на том же удалении от границы z, определяется следующим выражением:

. (2.7.1)

В случае металлов ₂=∞, и получаем обычное для случая металла равенство q₂= - q, а для силы взаимодействия заряда с поверхностью выражение, которое уже приводилось ранее (1.3.3).

Если первая среда вакуум, то ₁=1, и для силы зеркального изображения вместо (1.3.3) имеем следующее выражение:

. (2.7.2)

Однако использовать в этом выражении хорошо известные значения статических диэлектрических констант нельзя. Дело в том, что диэлектрическую постоянную, характеризующую реакцию среды на внешнее электрическое поле, можно разделить на две части - на ориентационную _ор и на поляризационную _пол:

=_ор+_пол. (2.7.3)

Ориентационная связана с расположением ионов. Время реакции атомов и молекул в твердом теле на изменение внешнего поля должно быть сопоставимо со временем, требуемым на совершение колебания около положения равновесия. Оценить это время можно из простого соотношения, справедливого для гармонического осциллятора:

(2.7.4)

г де ν – частота колебаний, которая равна обратному времени, затрачиваемому на одно колебание. Подставляя постоянные получаем, что при комнатной температуре:

(2.7.5)

Видно, что реакция атомной системы на изменение внешнего электрического поля является сравнительно медленной.

Вторая часть диэлектрической постоянной, _пол, отражает реакцию электронных оболочек, перестройка которых происходит очень быстро, за времена порядка 10^-16 с. Эту часть иногда называют оптической.

В обычных условиях электрон, покидающий поверхность или приближающийся к ней, обладает высокой скоростью по нормали к поверхности. Энергия, соответствующая движению в этом направлении имеет величину, сравнимую с kT. Из этого следует, что:

(2.7.6)

Таким образом, за время 10^-13 с, что соответствует периоду колебаний частиц, электрон способен пройти путь, длина которого превышает 100 Å. Это означает, что при малых расстояниях между электроном и поверхностью электрическое поле, создаваемое движущимся электроном, меняется настолько быстро, что система ионов не в состоянии отреагировать адекватным способом. Поэтому _ор должна отличаться от ее статического значения. Точно учесть влияние этого эффекта пока не удается. Остается только ввести некоторую константу  такую, что:

. (2.7.7)

Т

Рис.2.7.2. У поверхности полупроводника возможен загиб зон. Поскольку ни сродство к электрону, ни ширина запрещенной зоны не изменяются, то это приводит к изменению работы выхода на величину _R.

огда сила зеркального изображения может быть записана в виде:

. (2.7.8)

Наличие дополнительного множителя отражается на величине шоттковского понижения работы выхода. Если воспроизвести расчеты, проведенные в 1.3.4, то получим:

. (2.7.9)

Таким образом, величина шоттковского понижения работы выхода в случае полупроводников или диэлектриков должна быть несколько меньше, чем у металлов.

Вторая причина, которая также вызывает изменение величины работы выхода полупроводников при наличии внешнего электрического поля, связана с загибом зон у поверхности. Проникновение поля приводит к изменению потенциальной энергии электронов в приповерхностной области и соответствующему перераспределению их концентрации.

В качестве примера рассмотрим, как изменяется потенциал в приповерхностной области в случае полупроводника п-типа, находящегося в левом полупространстве (рис.2.7.2), при наличии у поверхности электрического поля напряженностью:

. (2.7.10)

Если считать электронный газ в зоне проводимости идеальным, то давление, оказываемое им на любую площадку единичных размеров, может быть определено из следующего выражения:

p=nkT. (2.7.11)

Поскольку концентрация электронов при наличии изменения потенциала зависит от координаты, то имеется и зависимость давления от координаты данной точки в полупроводнике. Из (2.7.11) получаем:

dp(z)=kTdn. (2.7.12)

В стационарном состоянии это изменение давления должно быть уравновешено электрическими силами, действующими на электронный газ:

. (2.7.13)

Из равенства сил следует:

(2.7.14)

Уравнение легко интегрируется. Учитывая, что на больших расстояниях от поверхности ее воздействие становится бесконечно малым, т.е. при z -  V(z) 0 и n  n₀, (n₀ - концентрация носителей заряда далеко от поверхности в объеме), получаем:

(2.7.15)

Распределение потенциала в области пространственного заряда может быть получено решением уравнения Пуассона. Поскольку концентрация положительных зарядов должна быть равна концентрации электронов n₀, имеем:

. (2.7.16)

Или, используя (2.7.15):

. (2.7.17)

Если ввести безразмерный потенциал

(2.7.18)

и обозначить:

, (2.7.19)

то (2.7.17) можно переписать в следующем виде:

. (2.7.20)

Величину L_D называют длиной экранирования Дебая. Ее физический смысл становится понятным, если рассмотреть сравнительно редко встречающийся случай Ф<<1, т.е. eV<<kT. Тогда можно разложить экспоненту в ряд и, пренебрегая членами высшего порядка малости, получаем:

. (2.7.21)

После интегрирования, учитывая, что V(0)=V_S и V(-)=0, имеем:

. (2.7.22)

Из приведенного выражения следует, что L_D - длина, на которой потенциал изменяется в е раз. Таким образом, это величина, которая характеризует глубину проникновения электрического поля в твердое тело. Оценим, каково численное значение L_D. Пусть T=300 K, =4, n=10¹⁴ см^-3, тогда:

. (2.7.23)

Т.е. область пространственного заряда может простираться на тысячи и более постоянных решетки. Из выражения следует, что глубина области существенно зависит от концентрации свободных носителей. В свою очередь, это означает, что ширина области пространственного заряда зависит от температуры, на нее существенно может влиять облучение фотонами из области собственного и примесного поглощения полупроводника.

Вернемся к (2.7.20). Введем безразмерную координату, которую определим следующим образом:

z=L_D. (2.7.24)

Это позволяет получить уравнение для функции , в котором отсутствуют какие-либо характеристики материала.

. (2.7.25)

Другими словами, ( является универсальной функцией. Решение уравнения позволяет определить ход потенциала в приповерхностной области и величину загиба зон на поверхности. Опуская вычисления, приведем конечный результат:

, (2.7.26)

где E_CS (E_VS) – положение дна зоны проводимости (верха валентной зоны) на поверхности.

Загиб зон в приповерхностной области не изменяет ни ширину запрещенной зоны, ни величину сродства к электрону. Это означает, как видно из схемы, приведенной на рис.2.7.2, что загиб зон, равный Е_C -E_CS, приводит к изменению термодинамической работы выхода на величину _R. Она увеличивается или уменьшается в зависимости от направления электрического поля. В случае поля, способствующего выходу электронов, с учетом шоттковского понижения барьера имеем:

_F=_ш+_R. (2.7.27)

Внешнее поле не единственная причина, вызывающая загиб зон в поверхностной области. К такому же эффекту приводит наличие на поверхности полупроводников разрешенных для электронов состояний, энергия которых находится в запрещенной зоне. Их появление может быть связано с наличием на поверхности адсорбированных частиц, а также быть результатом обрыва решетки.

Особенность таких состояний заключается в том, что соответствующая им волновая функция электронов локализована в области поверхности, она экспоненциально затухает при удалении от поверхности, как в вакуум, так и в объем твердого тела. Такие состояния называют поверхностными состояниями. Теоретически каждый атом, находящийся на поверхности может приводить к появлению по крайней мере одного поверхностного состояния. Следовательно, концентрация поверхностных состояний может достигать значений ~ 10¹⁵состояний/см². В действительности, обычно концентрация меньше. Энергия электронов, находящихся на поверхностных состояниях, существенно выше, чем у электронов в валентной зоне. Поэтому система стремится изменить положение атомов на поверхности таким образом, чтобы уменьшить их количество. Тем не менее, плотность поверхностных состояний остается достаточно высокой, и при приложении внешнего электрического поля перезарядка хотя бы части этих состояний может приводить к экранированию поля и, соответственно, к уменьшению глубины его проникновения.

Зная напряженность поля у поверхности, легко оценить, перезарядка какого числа центров достаточна, чтобы полностью предотвратить проникновение поля в полупроводник. Из электростатики известно, что плотность наведенного внешним полем поверхностного заряда  связана с напряженностью поля F следующим соотношением:

F=4 (2.7.28)

Пусть  = eN_min, где N_min – минимальное число перезаряжаемых состояний, достаточное для полного экранирования внешнего поля. Тогда:

(2.7.29)

Из приведенной оценки видно, что уже 10¹² перезаряжающихся центров достаточно, чтобы полностью экранировать поле F=2^.10⁶В/см. Конечно, полное экранирование внешнего электрического поля поверхностными состояниями возможно только при «удачном» расположении их энергии относительно запрещенной зоны. Это имеет место в случае, когда энергия состояний близка к уровню Ферми, и уже небольшой загиб зон приводит к значительному изменению их заполнения.

Таким образом, видно, что зависимость величины барьера для электронов от внешнего электрического поля в случае полупроводников значительно сложнее, чем в случае металлов. К сожалению, детальных исследований влияния поля на работу выхода полупроводников пока не достаточно. Имеющиеся же экспериментальные результаты не демонстрируют существенных отклонений от обычной шоттковской зависимости _ш= , справедливой для металлических поверхностей.

Е

Рис.2.7.3.Зависимость положения уровня электрохимического потенциала от температуры для примесного полупроводника п-типа. При вычислении считалось, что эффективные массы и статистические веса в зонах разрешенных состояний одинаковы [P1].

ще одним отличием термоэлектронной эмиссии с полупроводников от эмиссии с металлов является более существенное изменение работы выхода от температуры, что связано с возможностью значительного смещения уровня электрохимического потенциала. В качестве примера на рис.2.7.3 приведены зависимости положения уровня Ферми от температуры для полупроводника п-типа, имеющего различные концентрации примесных состояний. При низких температурах уровень Ферми располагается примерно посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем. При увеличении температуры по мере опустошения донорных состояний все большую роль начинают играть переходы электронов из валентной зоны. Уровень Ферми смещается по направлению к середине запрещенной зоны. Наконец при высоких температурах, когда все донорные уровни опустошены, уровень химпотенциала располагается примерно посередине запрещенной зоны. Это имеет место при температурах тем более высоких, чем выше концентрация примесных состояний. Общее изменение энергии уровня Ферми может достигать почти половины ширины запрещенной зоны. Для типичных полупроводников это составляет несколько десятых электрон-вольта. Поэтому температурный коэффициент работы выхода может доходить до 10^-3 эВ/град.

Аналитическое выражение для температурной зависимости энергии уровня Ферми может быть написано в двух случаях: в случае собственного полупроводника и в случае невысоких температур для примесного. В случае собственного полупроводника:

, (2.7.30)

где т_п и т_р – эффективная масса электрона и дырки, соответственно. Или:

(2.7.31)

где φ₀ – работа выхода при Т = 0 К. Подставляя это значение в уравнение для термоэмиссионного тока (2.2.20), получаем:

. (2.7.32)

Таким образом, в этом случае выражение практически совпадает с тем, которое справедливо для металла. Только несколько изменяется предэкспоненциальный множитель.

В случае примесного полупроводника, например п-типа, когда степень ионизации доноров невелика и практически отсутствуют переходы из валентной зоны (область невысоких температур), положение уровня Ферми можно определить из следующего выражения:

, (2.7.33)

где Е_д – энергия донорных состояний, а п_д - их концентрация. Подставляя эту величину в уравнение для термоэлектронной эмиссии, получаем:

(2.7.34)

По-прежнему, основная зависимость термоэмиссионного тока от температуры определяется экспонентой. Однако, в этом случае ослабляется зависимость от температуры предэкспоненциального множителя, и присутствует зависимость тока от концентрации примесей..

Следует, однако, помнить, что использованные выражения (2.7.30) и (2.7.33) справедливы только в узком интервале температур. Для наиболее интересного диапазона температур, в котором происходит сильное изменение положения уровня Ферми, аналитическое выражение отсутствует.

В случае полупроводников, в отличие от металла, на величине термоэмиссионного тока может сказаться и наличие существенного падения потенциала в объеме, возникающее вследствие большого сопротивления катода. При больших эмиссионных токах величина разности потенциалов между поверхностью катода и коллектором (анодом) может значительно, иногда на сотни вольт, отличаться от величины приложенного напряжения. Между тем, в экспериментах всегда фиксируется величина напряжения между контактом с катодом и анодом.