4.2.Метод Тромпа — Терра

В 1937 г. голландский инженер К.Тромп предложил изображать результаты разделения материала в виде кривой распределения [86].

О н установил, что распределение фракций исходного угля между продуктами обогаще­ния (рис.25) происходит с определенной статистической закономерностью, совпадаю­щей с нормальным законом распределения (законом Гаусса).

Отношение количества отдельной фрак­ции в Рис. 25.Симметричная продукте обогащения (в процентах от

частотная кривая исходного) к количеству одноименной фракции в исходном угле называется раздели­тельным числом фракций

Предположим (табл. 10), что фракция 1500—1600 кг/м³ полно­стью перешла в концентрат и ее разделительные числа будут для концентрата 100%, а для породы — 0.

Таблица 10 Фракционный состав продуктов обогащения

Плотность фракций, кг/м3	К онцентрат Порода				Эквива­лентное исходное (3 + 5)	Распределительные числа, %
	Выход фракции, % от					Для кривой концентрата Тк (3:6) 100	Для кривой породы Тп (5:6) 100
	концентрата	исходного	породы	исходного
1	2	3	4	5	6	7	8
<1300	58,53	50,09	0,00	0,00	50,09	100	0
1300—1400	24,34	20,83	0,00	0,00	20,83	100	0
1500—1600	2,65	2,27	0,00	0,00	2,27	100	0
1600—1800	4,47	3,83	0,77	0,11	3,94	97,21	2,79
1800—2000	2,13	1,82	5,29	0,76	2,58	70, 54	29,46
2000—2200	1,17	1,00	13,25	1,91	2,91	34,36	65,61
>2200	0,84	0,72	80,69	11,64	12,36	5,83	94,17
Итого	100	85,58	100,0	14,42	100,0	_	_

Фракция 1600—1800 кг/ж³ при содержании ее в исходном 3,94% в процессе обогащения распределилась между концентратом и по­родой так, что в концентрате содержится 3,83% (от исходного), в породе 0,11%. Разделительные числа, служащие для построения кривой Тромпа, показывают, в каком соотношении произошло это распределение:

ее перешло в концентрат

перешло в породу

Числа 97,21; 2,79 и являются разделительными.

Таким путем разделительные числа находятся и для других

фракций.

В общем виде разделительные числа для концентрата П_к и по­роды П_п представляют следующие отношения:

П_к + П_п= 100%,

Где . γ_к, γ_п—содержание определенной фракции в продукте от ис­ходного, %;

γ_к^исх , γ_п^исх -содержание той же фракции в исходном, %.

Кривая Тромпа (рис.26) строится в координатах, на оси абс­цисс которых откладывается средняя плотность фракций, а на оси ординат — разделительные числа. Так как

П_к + П_п= 100%,

то кривые концентрата и породы симметричны и пересекаются в точке, ордината которой соответствует разделительному числу 50%. Плотностью разделения по кривой Тромпа является плот­ность, при которой соответствующая ей бесконечно малая фракция распределяется равными количествами между двумя продуктами обогащения. По кривой Тромпа без дополнительных построений не­посредственно определяется разделительная плотность.

Рис.26. Кривые разделения Т_к и Т_п по Тромпу

Поскольку кривые Тромпа для концентрата Т_к и породы Т_п сим­метричны и П_К = 100 — П_п и наоборот, то нет необходимости в по­строении обеих кривых. В практике обогащения изображаются обычно кривые породы (при делении на два продукта) или промпродукта и породы (при делении на три продукта) для различия кривых разделения с кривой обогатимости λ.

По данным табл. 10 и рис.26 видно, что при идеальных условиях обогащения все фракции с плотностью, меньшей 2000 кг/м³, пере­шли бы в концентрат, а с большей плотностью — в породу. Кривая Тромпа приняла бы вид ломаной линии ABCDE с вертикальной линией BD, проходящей через точку, соответствующую раздели­тельной плотности δ_р.

Практически же кривая имеет вид, аналогичный изображенному на рис.26. Площадь А₁ВС показывает, какая часть суммарной фракции от δ_х1, До δ_р, выражаемая в процентах от этой фракции, по­пала в породу, а площадь CDE₁ — какая часть суммарной фракции от δ_Р до δ_х2 попала в концентрат. Следовательно, чем меньше пло­щади засорения, т. е. чем круче кривая, тем точнее происходит раз­деление в обогатительном аппарате.

На основании исследований Тромп установил, что для данной обогатительной машины при одних и тех же режимах обогащения кривая разделения постоянна и не зависит от качества исходного угля [32, 86]. Однако Вундт и Шефер [32, 87] утверждают обратное.

О ни считают, что значения среднего вероятного отклонения Е_р и показателя погрешности I зависят от качества исходного угля, т. е. от его обогатимости, и для данной машины не являются посто­янными величинами. Действительно, при построении кривых Тром­па пользуются разделительными числами, определяемыми путем деления содержания определенной фракции в продукте от исходного на содержание этой же фракции в эквивалент­ном исходном. Несмотря на то, что при определе­нии разделительных чисел исходят из данных, полу­ченных в результате обо­гащения, частота появле­ния той или иной плотнос­ти характеризует исход­ный продукт. На этом основании можно предпо­ложить, что величины ко­эффициентов Е_р и I нахо­дятся в зависимости от ка­чества исходного угля, а характер разделительной кривой Тромпа зависит от обогатимости.

В табл. 11 и на рис.27 и 28 показан пример по­строения дифференциаль­ной и интегральной кри­вых распределения веро­ятностей для одной фрак­ции.

Рис.27 Кривая распределения вероятности непрерывной случайной величины

Таблица 11

Распределение вероятностей при расслоении фракции угля 1400—1600 кг/м³

Интервалы плотности S, кг/м3	Частота плотности t	Beроятность	Плотность вероятности	Суммарная вероятность, F(x)= ΣP
1400—1420	1	0,003	0,00015	0,003
1420—1440	6	0,020	0,00100	0,023
1440—1460	22	0,074	0,00370	0,097
1460—1480	45	0,150	0,00750	0,247
1480—1500	78	0,260	0,01300	0,507
1500—1520	76	0,251	0,01250	0,758
1520—1540	46	0,154	0,00770	0,912
1540—1560	20	0,067	0,00335	0,979
1560—1580	5	0,018	0,00090	0,997
1580—1600	1	0,003	0,00015	1,000
Итого	г = 300	1,00

Впоследствии Тромп и Терра [32, 39, 72, 84—86] опытным путем установили, что кривая разделения имеет форму кривой нормаль­ного распределения, рассматриваемого в теории вероятностей.

Плотность X является непрерывной случайной величиной. Пред­положим, фракция угля 1400—1600 кг/м³ многократно подвергалась тонкому расслаиванию с интервалом плотности 20 кг/м³. При этом частота получения тех или иных фракций оказалась такой, как она показана во второй колонке табл. 11.

На рис.27 в координатной системе XV по оси X отложены от условного нуля (1500 кг/м³) интервалы изменения плотности, а по оси

У — плотности вероят­ностей. Площадь каждого прямоугольника представля­ет собой вероятность (Sy = Р) получения той или иной фракции. Общая пло­щадь всех прямоугольников равна 1, как сумма вероят­ностей. Соединив средние точки прямоугольников плав­ной линией, получим кривую распределения вероятностей случайной величины. Эта кривая представляет собой дифференциальную функцию распределения f(x). Если по­строить кривую суммарной вероятности, т.е.

просуммировать площади, ограниченные

распределения вероятностей дифференциальной кри­вой, получим интегральную кривую распределения f(x) в общем виде:

(35)

при х = - ∞ F(x) = 0,а при х = +∞ F(x) = 1.

Рис 28. Интегральная кривая

Кривая рис. 28 удовлетворяет трем следующим положениям:

1. чем меньше отклонение плотности от средней, тем больше вероятность данной плотности;

2. равные по величине, но разные по знаку отклонения плотно­ сти от средней равновероятны;

3. для каждого способа измерения существует свой предел. В этом случае эти пределы 1400—1600 кг/м³.

Аналитически кривая закона нормального распределения вы­ражается уравнением

. (36)

В этом уравнении а представляет собой математическое ожида­ние случайной величины х и определяется по формуле

,

где f(x)dx — элемент вероятности.

Математическое ожидание а равно среднеарифметическому зна­чений плотности и по данным табл. 11 может быть вычислено как сумма произведений величин плотности на их вероятности. (х — а) — отклонение случайной величины х от ее среднего значе­ния а оценивается дисперсией σ², а корень квадратный из дисперсии дает среднее квадратическое отклонение:

.

В расчетах по обогащению полезных ископаемых пользуются средним вероятным отклонением Е. Например, в интервале плот­ностей 1400—1600 кг/м³ можно взять такой интервал вправо и вле­во от 1500 кг/м³, что вероятность получения материала плотностью 1500 кг/м³ ± Е составляет 50%. Величина Е и называется средин­ным или вероятным отклонением величины х от ее среднего значе­ния и зависит от а:

Е = 0,6744 σ.

Из уравнения (90) следует, что при х = а

,

т. е. наибольшую вероятность имеет среднее значение случайной величины (максимальная ордината на рис.27). По мере удаления от точки т вероятность падает и при х→ + ∞кривая асимптоти­чески приближается к оси х, т. е. у→0.

Если отсчеты вести от центра рассеивания, то а = 0 и значения х будут выражать отклонения.

В теории вероятностей принято на оси абсцисс откладывать не абсолютные, а относительные отклонения, выраженные в единицах среднеквадратического σ или вероятного отклонения Е. При σ = 1 уравнение принимает вид

(37)

Это уравнение выражает так называемое «нормированное» рас­пределение случайной величины.

Суммарная вероятность случайной величины в интервале от х₁ до х₂ определяется интегралом

Кривая, построенная для различных значений х по значениям интеграла:

(38)

является интегральной кривой нормального распределения.

Вся площадь под дифференциальной кривой распределения равна 1:

Таким образом, нормальный закон распределения изображается двумя кривыми: симметричной дифференциальной кривой Гаусса (37), характеризующей плотность вероятности (см. рис.27), и ин­тегральной кривой (38), характеризующей суммарную вероятность (см. рис.28).

Если на рис.27 вся площадь под кривой равна 1, то на рис. 28 ордината при х=+ ∞ равна 1.

При построении кривой нормального распределения, ординаты выражают количество ошибок измерений в процентах от общего количества ошибок, равного 100%. При построении же разделитель­ной кривой Тромпа используются разделительные числа, которые показывают количество той или другой фракции, попавшее в продукт обогащения, в процентах от содержания этой фракции в исходном угле, а не от общего количества посторонних фракций. Однако это различие, по мнению авторов, не умаляет подобия указанных кри­вых по форме и свойствам.

Кроме того, в отличие от кривой Гаусса, кривая Тромпа не всег­да строго симметрична. Многочисленными исследованиями уста­новлено, что нормальный закон распределения Гаусса имеет место только при разделении в среде, плотность которой равна требуемой плотности разделения. В остальных случаях, т. е. при обогащении в водной и воздушной среде, чтобы кривая имела симметричную форму и свойства нормального распределения, на ось абсцисс должны наноситься:

при обогащении в водной среде — lg(δ — 1000);

при обогащении в воздушной среде — lgδ.

На основании подобия кривых нормального распределения и Тромпа уравнение кривой разделения имеет тот же вид:

в котором случайная величина х — есть отклонение различных плотностей от разделительной, выраженной также в единицах сред-неквадратического отклонения. Как было указано раньше, раздел лительную кривую удобно характеризовать средним вероятным отклонением Е.

Кроме того, процесс обогащения принято характеризовать и по­казателем погрешности I , равным .

С целью упрощения расчетов и построений разделительную кри­вую преобразовывают в прямую путем изменения масштаба орди­нат. Если на оси ординат принять масштаб, соответствующий функ­ции интегральной кривой

кривая разделения принимает прямолинейный вид [18, 32].

Р ис. 29. Выпрямление симметричной кривой разделения

По данным табл. 12 F(x) имеет значения от 0,003 до 0,997 при значениях у в пределах от —4Е до +4Е (рис. 29). Интервал от —4Е до +4Е взят потому, что вероятность, как видно из данных табл. 12, при крайних положениях уже очень мала —0,3%, в силу чего нет необходимости раздвигать шкалу.

В табл. 12 значения х, выраженные в единицах Е, переведены в единицы σ путем умножения их на 0,6744.

По математическим таблицам функции Лапласа находим зна­чения F(x), соответствующие значениям σ .

Таблица 12

Значения х и вероятностей

х в единицах		Суммарная вероятность F		Вероятность интервала, %
E	σ	F(x)	%
-4E -3E -2E -1E 0,0 +1E +2E +3E +4E	-2,70 -2,02 -1,35 -0,6744 0,0 0,6744 1,35 2,02 2,70	0,003 0,022 0,089 0,250 0,500 0,750 0,911 0,978 0,997	0,3 2,0 8,9 25,0 50,0 75,0 91,1 98,0 99,7	1,7 6,9 16,1 25,0 25,0 16,1 6,9 1,7

Для получения вероятностной сетки (рис.29) правая ордината (100 или 200 мм) разбивается от средины (от 0) вверх и вниз на 4 отрезка. Промежуточные значения можно получить так:

т. е. точка 2,6E будет лежать на расстоянии 32,5 мм от 0 вверх и т. д. На левой ординате проставляем соответствующие числам Е значения функции F(x), взятые по табл. 12.

Получаем значения анаморфозной ординаты, которая при вы­прямлении кривой разделения представляет собой ординату - раз­делительные числа.На рис. 43 показано выпрямление кривой по данным табл. 13.

Таблица 13

Данные для выпрямления кривой Тромпа

Плотность, кг/м'	Выход. % (исходный уголь)	Порода, %		Разделительные числа
		выход к продукту	к исходному
<1350	51,76	3,1	1,16	2,24
1350—1400	15,18	1,3	0,49	9,50
1400—1500	4,65	2,4	0,90	19.40
1500—1600	4,34	6,0	2,25	53,00
1600—1750	4,97	11,1	4,16	83,70
1750—1900	4,79	12,1	4,54	94,80
> 1900	24,31	64,0	24,00	98,70
Итого	100,0	100,0	γп =37,50	—

Из данных табл. 12 видно, что вероятность получения отклоне­ния меньше -Е — 25% и меньше +Е — 75%, т. е. интервал от -Е до +Е, равный по абсолютной величине 2Е, ограничен вероятно­стями 25 и 75%. Отсюда

. (39)

Вероятным отклонением в применении к кривой разделения яв­ляется полуразность между абсциссами (плотностями) точек кри­вой, соответствующих ординатам (разделительным числам) 25 и 75%:

.

На кривой рис.29 имеем

Так как интегральная кривая Гаусса симметрична, то

и .

По аналогии для разделения в тяжелой среде

Е = 1650 — 1560 = 1560 — 1470 = 90.

Если кривая Тромпа симметрична, то

,

если абсциссы нанесены в логарифмическом масштабе, то

Величину вероятного отклонения обозначают E_р которая изме­ряется в единицах плотности. В нашем примере E_р — среднее ве­роятное отклонение плотности посторонних фракций в продуктах обогащения от плотности разделения — составляет 90 кг/м³.

Зная разделительную плотность и Е_р, можно графически постро­ить кривую разделения.

По законам вероятности максимальное отклонение при при­нятых ограничениях составляет ±4Е_р или в примере ±4Е_Р = ±4·90 = ±360, т. е. если δ_р = 1560 и Е_р = 90 (рис. 29), то в концентрат могут попасть фракции с плотностью до δ_р + 4Е_Р = = 1560 + 360=1920, а в породу δ_р-4Ер= 1560—360= 1200 кг/м³: Разумеется, в интервале от δ_р до δ_р ±4Е_Р будут продукты и с про­межуточными плотностями:

от δ_р до δ_р ± Е_р;

от δ_р ± Е_р до δ_р±Е_р;

от δ_р±Е_р до δ_р±Е_р;

от δ_р±Е_р до δ_р±Е_р

Поскольку кривая разделения приравнивается к интегральной кривой, величина ординат которой для различных значений абсцисс в единицах Е_р приведена в табл. 12, то и для кривой разделения значения ординат для абсцисс (плотностей) в единицах Е_р также соответствует данным табл. 24.

Абсцисса Ордината, % Абсцисса Ордината, %

δ_Р 50 δ_Р + Е_р 75

δ_Р- Е_р 25 δ_Р+ 2Е_р 91

δ_Р -2Е_р 9 δ_Р+3Е_p 98

δ_р- 3Е_р 2 δ_р+ 4Е_р 99&7 δ_р- 4Е_р 0,3

Эти ординаты, соответствующие абсциссам с целыми значения­ми Е_р, называют характерными числами кривой; они делят кривую на 8 равных частей, называемых октилями (рис.29) [12, 39, 75].

Для облегчения операций с величинами вместо обозначений δ_Р — Е_р, δ_Р + 3Е_р и т. д. обозначают δ₂₅ , δ₉₈ и т. д. Тогда, например, для фракции от δ_Р до δ_Р - Е_р или δ₅₀ - δ₂₅ разделительные числа крайних плотностей этой фракции равны 50 и 25%, для фракции δ₂₅ — δ₉ крайние ординаты равны 25 и 9% и т. д.

Разделительное число для фракции δ₅₀ - δ₂₅ измеряется сред­неарифметическим значением крайних ординат этой фракции, т. е.

Это значит, что данная фракция разделилась так, что 37,5% ее попало в породу, 62,5% — в концентрат.

Разделительные числа (ординаты кривой) для различных фракций в интервалах Е_р даны в табл. 14.

Таблица 14

Ординаты для фракций различных плотностей кривой разделения тяжелого продукта

Фракции		Ординаты крайних плотно­стей, %	Средняя ордината для плот­ностей, %	Количество посторон них фракций в % от фракций в про­дукте тяжелом легком
в интервале	В сокращенном обозначе­нии
				тяжелом	легком
От δp до (δp-Ep) от (δp-Ep) до (δp-2Ep) от (δp-2Ep) до (δp-3Ep) от (δp-3Ep) до (δp-4Ep) от δp до (δp-Ep) от (δp-Ep) до (δp-2Ep) от (δp-2Ep) до (δp-3Ep) от (δp-3Ep) до (δp-4Ep)	δ50 –δ25 δ25 –δ9 δ9 –δ2 δ2 –δ0,3 δ50 –δ75 δ75 –δ91 δ91 –δ98 δ98 - δ99,7	50 и 25 25 и 9 9 и2 2 и 0,3 50 и 75 75 и 91 91 и 98 98 и 99,7	37,5 17,0 5,5 1,0 62,5 83,0 94,5 99,0	37,5 17,0 5,5 1,0 - - - -	- - - - 37,5 17,0 5,5 1,0

Таким образом, фракции исходного угля, крайняя плотность которых удалена от плотности разделения на одно вероятное от­клонение, имеют разделительные числа 37,5 и 62,5. 37,5% этих фракций попадает в один продукт и 62,5% —в другой и далее 17 и 83; 5,5 и 94,5; 1 и 99. Посторонними фракциями для тяжелого продукта являются фракции с плотностью, меньшей δ_р, а для лег­кого продукта — фракции с плотностью, большей δ_р.

Следовательно, чем меньше Е_р обогатительной машины, тем точ­нее работает машина. Величина Е_р определяет угол наклона кри­вой разделения к вертикали: чем меньше Е_р, тем меньше этот угол, и когда Е_р = 0, кривая разделения вертикальна и обогащение про­исходит идеальное. Таким образом, величина Е_р наилучшим обра­зом характеризует кривую разделения.

Вероятное отклонение E_р характеризует не процесс обогащения вообще, а работу обогатительной машины. В связи с этим величи­на E_р может служить характерным показателем для контроля и оценки эффективности работы обогатительных машин.

Значение Е_р может быть вычислено и графическим путем. Для этого необходимо определить фракционный анализ продуктов обогащения, выразить его в процентах от исходного и сложить их для получения эквивалентного исходного. Для сравнения необхо­димо иметь фактический фракционный анализ исходного продукта. Ошибка при сравнении не должна быть больше 1,2%, Далее опре­делить разделительные числа для породы и промпродукта + поро­ды и построить кривые разделения. По кривым определить величи­ну абсциссы для δ₇₅ и δ₂₅, тогда

Определение величины E_р по описанному способу показано на рис.30. Фракционный состав продуктов обогащения приведен в табл. 15.

Таблица 15

Фракционный состав продуктов обогащения угля крупностью 0,5—10 мм на отсадочной машине

Плотность фракций, кг/м3	Концентрат		Промпро- дукт		Порода		Исходный промпродукт %	Распределительные числа для
	Выход, % от
	концентрата	исходного	промпродукта	исходного	породы	исходного		концентрата	породы
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
<1300	69,89	45,99	6,58	1,28	0,35	0,05	47,32	2,82	0,10
1300-1400	22,06	14,51	14,12	2,74	0,48	0,07	17,32	16,20	0,40
1400-1500	3,68	2,42	12,98	2,52	0,93	0,14	5,08	52,50	2,75
1500-1600	1,63	1,07	9,84	1,91	1,04	0,15	3,13	65,70	4,82
1800-2000	0,99	0,65	15,60	3,03	4,11	0,61	4,29	84,80	14,25
2000-2300	0,41	0,28	8,36	1,62	3,31	0,49	2,39	89,40	20,50
>2300	0,67	0,44	11,69	2,27	14,71	2,18	4,89	91,20	44,58
	0,67	0,44	20,83	4,03	75,07	11,11	15,58	97,20	71,50
Итого	100,0	65,80	100,0	19,40	100,0	14,80	100,0	-	-

Выхода продуктов γ , γ_пп, γ_п определяются по балансовым формулам. Контрольные плотности приняты равными 1500 и 2000 кг/м³. Контрольное расслоение по ним дает результаты, приве­денные в табл. 16,

Таблица 16

Выход фракций по контрольным плотностям

Плотность фракций, кг/м3	Содержание,% в			Исходный
	концентрате	промпродукте	породе
<1500 1500-2000 >2000	95,63 3,03 1,34	33,68 33,80 32,52	1,76 8,46 89,78	69,70 9,80 20,50
Итого	100,0	100,0	100,0	100,0

Рис.30. Кривые разделения Т_п и Т_пп и графическое определение Е_р для одной отсадочной машины

Содержание этих же фракций в продуктах обогащения опреде­ляется из данных табл. 15 и приведено в табл. 16:

По величинам γ, γ_пп, γ_п пересчитан фракционный состав про­дуктов обогащения в процентах от исходного и результаты показа­ны в графах 3, 5 и 7 табл. 15. Суммируя данные граф 3, 5 и 7, полу­чаем эквивалентное исходное, Разделительные числа приведены

в графах 9 и 10, по которым построены кривые разделения в анаморфозных координатах (рис.30). Из рис.30 имеем:

δ'_p = 1470; δ ''_р = 2180;

δ '₂₅ = 1382; δ ''₂₅= 1880;

δ '₇₅ = 1620; δ "₇₅ = 2580.

Для машин с водной средой E_р возрастает пропорционально

Е_р = I (δ_p — 1000),

где I — коэффициент пропорциональности, называемый коэффици­ентом несовершенства и равный

Этот коэффициент, учитывающий E_р и δ_p, позволяет судить о точности работы машины независимо от плотности разделения [71, 72]. Коэффициент I применяется обычно для контроля и оценки точности работы обогатительных машин с водной средой, так как величина Е_р в этом случае в значительной степени зависит от δ_p —1000. Чем меньше коэффициент I, тем выше точность разделения в обогатительной машине.

Если, например, δ_p = 1500 кг/м³ и E_p = 30, то каждая фракция может быть выражена в единицах вероятного отклонения. Рассмот­рим фракцию 1350—1450 кг/м³. Средняя плотность ее составляет 1400 кг/м³, а отклонение этой плотности от разделительной равно

1500— 1400= 100 кг/м³

или

вероятных отклонения.

Другими словами, отклонение фракции 1350—1450 от плотности разделения равно 3,33 Е.

Отклонение плотности любой фракции х от разделительной плотности в единицах квадратического отклонения σ определяется по формуле

где δ_m— средняя плотность искомой фракции,

При разделении в водной среде, когда кривая разделения под­чиняется логарифмически нормальному закону, величина х подсчитывается по другой формуле, а именно:

где

а

Остальные расчеты те же, что и при обогащении в тяжелых средах.

В нашем примере

Х = 3,33 * 0,6744 = 2,24,

при этом п = 0,987 или 98,70 (п — берется из таблиц функции Лап­ласа).

Значение п показывает, что 98,7% данной фракции или 18,5*98,7= 18,3% от исходного осталось в концентрате, а 0,2% попало в промпродукт и породу. Аналогичный расчет делается и для других фракций. Результаты расчетов для нашего примера приведены в табл. 17 [53].

Таблица 17

Результаты, разделения при δ_р = 1500 кг/м³ и Е_р = 30

Исходный продукт			Сред- няя плот- ность δm, кг/м3	Откло- нения плот- ности δр -δm, кг/м3	Абсцисса Х=	Орди наты n, %	Состав концен трата, %	Количе ство золы, γβ
Фракции, кг/м3	Выход, %	Зольность, %
1270-1350 1350-1450 1450-1600 1600-1800 1800-2000 2000	42,2 18,5 6,0 5,8 6,2 21,3	5,1 12,0 24,6 41,2 56,3 81,5	1,31 1,40 1,525 1,70 - -	0,19 0,10 -0,025 -0,20 - -	4,28 2,24 -0,564 -4,49 - -	100,0 98,7 29,0 0,0 - -	42,20 18,30 1,74 0,0 - -	215,0 220,0 42,7 0 - -
Итого	100,0	29,0					γк=62,24	477,7

Подобную таблицу можно составить и для других разделительных плотностей, например 2000 кг/м³, и определить выход и зольность породы с тем отличием, что отклонение средней плотности от δ_р равно не δ_р — δ_m, а δ_р — δ_m. Это объясняется тем, что по аналогии с кривой Гаусса абсциссы, лежащие левее δ_р , отрицательные, а пра­вее — положительные. Для кривой Т_к, наоборот, и абсциссы выра­жаются отклонением δ_р — δ_m. Однако приведенный расчет дает не­точные результаты, так как средняя плотность (среднеарифмети-

ческая) не характеризует среднее значение фракции и не равна δ_m этой фракции в исходном угле. Аналогично не равны и зольности. Чтобы устранить эти недостатки, фракции разбивают на более уз­кие интервалы, пользуясь кривыми обогатимости.

Метод Тромпа — Терра хотя непосредственно и не дает показа­теля технической эффективности, однако, по мнению его авторов, дает возможность оценивать точность разделения угля на машине и прогнозировать фракционные составы продуктов обогащения.

Рис.31. Кривая разделения Т_п

Больше того, по мнению некоторых исследователей, коэффициент погрешности I может характеризовать даже эффективность разде­ления угля. Исходя из этого, необходимо более подробно рассмот­реть вывод этого критерия, так как ряд положений его являются не совсем обоснованными.

Отметим, во-первых, что кривая разделения, построенная в ко­ординатах разделительные числа — плотность, совпадает с кривой нормального распределения Гаусса не на всех ее участках: чем дальше от разделительной плотности, тем больше это расхождение. Кроме того, кривая Тромпа пересекается с осью абсцисс, а гауссовская только асимптотически приближается к ней, уходя в бесконеч­ность. В силу этого показатель

характеризующий разброс фракций относительно δ_р, является условным. Неточность его видна из рис. 31 и 32 и данных табл. 18. Согласно рис. 45, Е = 150, тогда ±4Е = 600 кг/м³. Следовательно, в концентрат должны, хотя и в малом количестве, попасть фракции плотностью 2000 + 600 = 2600 кг/м³, а в породу фракции плотно­стью 2000 — 600 = 1400 кг/м³. В действительности, согласно

фракционному анализу (табл. 18), в породе вообще нет фракций, имеющих плотность меньше 1550 кг/м³.

Несовпадение кривой разделения с кривой Гаусса также под­тверждается и выровненной кривой рис.32. Она должна быть пря­мой, в действительности (см. рис. 32) концы ее изгибаются.

Закон нормального распределения, как известно, характеризу­ется двумя кривыми: дифференциальной (колоколообразной) и интегральной. Ординаты суммарной кривой вы­ражают вероятность от­клонений определенной величины от общего количества отклонений, равного 100%.

Между тем приро­да построения разделительной кривой совершенно другая. Эта кривая строится по разделительным числам отдельных фракций

и имеет вид интегральной; дифференциальную кривую для продуктов разделения по­строить невозможно. По мнению Гайденрайха, разделительная кри­вая получается по интегральным кривым каждой фракции. Такой подход к построению этих кривых является слишком условным, так как получение колоколообразной кривой для каждой фракции маловероятно.

Рис.32.Выпрямление кривой разделения Т_п:

I -по данным фракционного анализа; II-по Е_Р=50

и δ_Р=2000 кг/³

Таблица 18

Данные фракционного состава и разделительные числа

Плотность фракций, кг/м3	Выход концентрата, %	Выход породы, %	Эквивалентное исходное, %	Разделительные числа для кривой породы, %
<1300	58,53	0	50,09	0
1300—1400	24,34	0	20,83	0
1400—1500	5,87	0	5,02	0
1500—1600	2,65	0	2,27	0
1600—1800	4,47	0,74	3,94	2,70
1800—2000	2,13	5,29	2,58	29,46
2000—2200	1,17	13,25	2,91	65,64
>2200	0,84	80,69	12,36	94,17

Если для примера взять фракцию 1300—1400 кг/м³ и разбить ее на более узкие интервалы, а затем определить вероятность каж­дого из них, то кривая 1 (рис.33) не совпадает с колоколообраз­ной 2, принятой предположительно Гайденрайхом.

Это несовпадение обусловлено следующими свойствами кривых Гаусса.

Во-первых, с увеличением отклонения случайной величины от среднего значения вероятность ее появления уменьшается. При раз­делении углей это также имеет место, но носит не такой строгий характер (рис.33).

Во-вторых, свойство кривой Гаусса состоит в том, что положи­тельные и отрицательные отклонения равновероятны, т. е. кривая симметрична. Между тем кривая разделения может иметь значительную асимметрию как при разделении в тяжелых средах, так и особенно при разделении в водной среде. Она не точно выпрямляется при построении в анаморфозной сетке — для тяжелых сред и анаморфозно-логарифмической — для водной среды.

Кроме того, принимае­мые в этом методе максимальные величины отклонения, равные ±4Е от разделительной плотности, для случаев

разделения углей оказываются недостаточными, так как крайние

Рис.33. Графическое изображение распределения фракций:

1-по фракционному анализу; 2-по Грайденрайху

точки кривой имеют большую или меньшую плотность чем δ_р ± 4Е

Из изложенного следует, что разделительная кривая отличается от нормальной кривой Гаусса и, следовательно, не точно описы­вается уравнением (38).

В заключение следует отметить, что метод Тромпа — Терра ха­рактеризует не технологическую эффективность обогащения углей, а точность разделения относительно принятой плотности. Среднее вероятное отклонение, точно характеризующее кривую Гаусса, лишь приближенно может характеризовать разделительную кривую и осо­бенно неточно на участках, удаленных от разделительной плотности выше 75 и ниже 25% извлечения. В силу неточности и весьма боль­шой трудоемкости необходимых вычислений или построений рассматриваемый метод является несовершенным.