19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.

Озн. Непорожня множина Х елементів довільної природи наз. метричним простором, якщо будь-яким двом елементам х,у є Х поставлено у відповідність невід’ємне число , яке задовольняє таким умовам

1. =0 тоді коли х=у,

2. = ,

3. , х,у,z є Х

Елементи множини Х наз точками метричного простору, а дійсне число відстанню між елементами х і у. Метричний простір позначають . Приклади метричних просторів. 1. Множина дійсних чисел з відстанню =/х-у/ є метр. простір, який позначають або . 2. М-на n-вимірних векторів з дійсними координатами де , є метрич. простором ,який наз n- вимірним евклідовим простором .

Доведемо третю властивість. Для доведення скористаємось нерівністю Коші , яка правильна для будь-яких дійсних чисел . Справді поклавши внерівність Коші знайдемо

Звідси .

Озн. Точку довільного метрич. простору R наз границею послідовності точок цього метричного простору і записують або , якщо .

Озн. Послідовність точок (к=1,2…) метричного простору R наз фундаментальною, якщо для будь-якого числа існує натуральне число , якщо для всіх к і , тобто .

Озн. Метричний простір R наз. повним якщо в ньому кожна фундаментальна послідовність має границю.

Доведемо напр.. простору . Нехай послідовність векторів є фундаментальна тоді для будь-якого існує натуральне число таке, що для всіх . Звідси для кожного і=1,2.., маємо , для всіх , .Згідно з критерієм Коші збіжна послідовність дійсних чисел робимо висновок що для кожного фіксованого і=1,2.. числова послідовність збіжна і має границю Числа є . Отже простір повний.

20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.

Якщо оператор стиску U відображає повний метричний простір у себе то він має єдину нерухому точку , яку можна дістати методом послідовних наближень при будь-якій початковій точці є .

Д-ння: Нехай - довільна фіксована точка простору послідовність фундаментальна. Справді

Якщо то скориставшись аксіомою трикутника маємо:

Для числа існує натуральне число таке, що , викон. нерівність (1) це озн. що послідовність фундаментальна. Оскільки метрич простір повний то існує границя і є . Доведемо що нерухомою точкою оператора U тобто . Справді якщо в силу єдності границі маємо . Доведемо що єдина нерухома точка . Припустимо і дві різні нерухомі точки оператора U. Тоді Звідси з нерівності дістанемо . Отже . Цим доведено єдність нерухомої точки.

21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.

Нехай дано нескінченну послідовність чисел

Вираз – називається рядом, а числа – членами цього ряду.

Коротше, ряд записується так: , загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо відоме правило, за яким для будь-якого n можна записати відповідний член ряду: , ,

називаються частковими сумами. Часткові суми утворюють деяку числову послідовність .

Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум, тобто, якщо існує часткова границя:

Число S називається сумою ряду і записують: або

Якщо ж послідовність часткових сум розбігається, то ряд наз. розбіжним. Таким чином, дослідження збіжності ряду з дійсними членами зводиться до дослідження збіжності деякої послідовності – послідовності його часткових сум.

Аналогічно вводиться поняття числового ряду з комплексними членами.

Нехай задана послідовність компл. чисел . Сума виду (1) – називається рядом компл. чисел.

Суми виду – називаються частковими сумами.

, ,

Необхідна і достатня умова збіжності ряду(1) є збіжність рядів (2) і (3)

Тоді ряд (1) буде подаватися у вигляді:

Якщо збігається (4), то й збігається (1).

Отже, дослідження на збіжність ряду з компл. членами зводиться до дослідження на збіжність 2-ох рядів з дійсними членами.

Необхідна умова збіжності ряду з дійсними членами: якщо ряд збігається, то його n-й (загальний член ) при , тобто

Властивості збіжних рядів:

1. ,с=const (c≠0) Якщо ряд збіжний (розбіжний), то і також.

2. Якщо ряд (1), (2) збіжні (розбіжні), то і (3) також.

3. Приписування або відкидання скінченного числа членів ряду не впливає на його збіжність (розбіжність).

Ряд виду – називається геометричною прогресією, число q – її знаменником. Геометрична прогресія збігається лише тоді, коли знаменник

Слід пам’ятати, що прямування загального члена ряду до нуля не є достатнім для збіжності ряду:

Розглянемо ряд: , який назив. гармонічним.

Тут , але ряд розбіжний. Даний ряд назив. еталоном розбіжного ряду.