4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.

Нехай нам дано дві множини , У={у}. Відображенням множини Х на (в) множ. (на (в)) називається закон (правило) по якому кожному елементу множини Х ставиться у відповідність єдиний елемент у є У, друг.

Закон позн. буквою f.

Якщо Х – числова множ., то таке відображення називається функцією.

Визначення функції :

Якщо кожному числу х за певним правилом поставлено у відповідність одне дійсне число у, то кажуть, що на множині х задана функція і позначають у = f(х).

Множина х при цьому називається областю визначення функції у = f(х). Множина елемент чисел назив. множ. значень функції.

Отже, для того, щоб функція була заданою треба знати область визначення функції, закон відповідності по якому кожному елементу х відповідає у.

у= , х ; у= , х ; у= . , х є R; у= . , х>0.(існування).

Способи задання функції

1. Аналітичний (це стос.. коли функція задається аналітичним виразом).

2. Табличний (за допомогою таблиць)

3. Графічний (зад. графіками). Графіком функції наз. множина точок площини з координатами

4. Словесний.

Класифікація функції

Основні елементарні функції: 1) ; 2) (степенева фу–я); 3) (показникові); 4) (логарифмічна функція)

5) (тригонометрична) 6) 7)

Поняття функції в школі:

1. Функцією наз. залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної у. Функцію позначають або однією буквою латинського алфавіту f, F або за допом. рівності , змінну х назив. незалежною змінною або аргументом .Змінну у залежною змінною або функцією. Всі значення незалежної змінної утворюють область визначення фу-ї. Усі значення, які набуває залежна змінна, утворюють область значень функції.

2.Числова функція. В алгебрі і початках аналізу окремо позначається числова фу –я: числовою фу-ю назив. залежність між елементами двох множин дійсних чисел Х і У, при якій кожному числу х з множини Х відповідає деяке цілком визначене число у з множини У. Цю залежність записують , де х – аргумент; у – функція. При цьому множина Х наз. областю визначення фу-ї і записується , а множина У – областю значень фу-ї, і запис. .

3. Складена фу-я. Фу-ю виду або , де наз. складеною фу-ю. Змінну у наз. проміжним аргументом.

Функція дійсної змінної: Нехай для довільного визначені фу-ї , розглянемо фу-ю (1). Ця фу-я є комплексно значною від дійсної змінної.

Фу-я (1) в точці має границю, якщо в цій точці існують границі.

Функція комплексної змінної: нехай кожному елементу z з деякої множини Е за певним законом поставимо у однозначну відповідність компл. число із множн. , тоді на мн. комплексно значна фу-я комплексної змінної. Їх називають комплексними фу-и змінної. ,

5. Границя функції в точці. Властивості границь. Визначні границі. Границі функції в метричних просторах та функцій комплексної змінної.

, гранична точка множини Х.

Означення:

Точка назив. граничною точкою множини Х, якщо у будь-якому околі цієї точки міститься принаймні одна точка цієї множини. Інакше грани. точка назив. точкою скупчення.

Гранична точка може належати множині і неналежати.

Визначення 1 (за Коші):

Число А назив. границею функції при і якщо для будь-якого існує таке , що з нерівності нерівність .

Визначення 2 (за Гейне)

Число А назив. границею функції при і, яку б послідовність значень не пробігала змінна збіжна до відповідна послідовність значень функції буде збіжною до числа А.

, , ,

Властивості границь.

1. Якщо фу-я має границю в точці , то ця границя єдина.

2. Якщо для всіх х з деяким околом точки , крім, можливо самої точки має границю, то .

3. для всіх х у деякому околі точки , крім, можливо самої точки , і фу-ї й а(х) у точці мають ту саму границю b, то і фу-я в точці має границю, що дор. цьому самому числу b

Нехай фу-ї і визначені в деякому околі точки , крім можливо самої точки , і нехай існують і . Тоді:

4. 

5. 

6. , якщо

7. 

8. 

9. 

Визначні границі: Доведення:

. . Поділимо обидві частини на Для досить малих будь-яка крива за пряму , це і доводить, що

В

О х

- друга визначна границя. Доведення: нехай пробігає деяку послідовність - ціла частина. при ,то додаємо 1і підносимо до степеня: - границя лівої. - границя правої. Нехай Таким чином можемо записати, що