13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.

Похідна ф-ії комплексної змінної є новою ф-єю тієї ж змінної і позначається або . Формально визначається рівністю , що повністю співпадає з границею ф-ії дійсної змінної, лише з однією умовою: дана границя не повинна залежати від шляху, по якому .

Зберігаються і правила диференціювання.

.

.

.

.

.

Означення. Похідною ф-ії комплексної змінної називається границя відношення приросту ф-ії до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля , при умові, що ця границя існує і не залежить від шляху, по якому приріст прямує до нуля. З останньої умови слідує дуже важливе обмеження на клас ф-ій комплексної змінної.

Справедлива теорема.

Нехай ф-ія визначена в деякому околі точки ,причому в цій точці ф-ії диференційовні. Тоді для диференційовності ф-ії комплексної змінної в точці необхідно і достатньо, щоб в цій точці виконувались умови Коші-Рімана:

; .

Якщо ці умови виконуються то знаходимо похідну .

Аналітичні ф-ії.

Однозначна ф-ія називається регулярною або голоморфною в точці ,якщо вона неперервна або диференційовна в деякому околі точки .

Ф-ія диференційовна тільки в самій точці, але не в її околі, називається моногенною в цій точці.

Таким чином, ф-ія називається регулярною в точці ,якщо вона моногенна в точці і в її околі.

Якщо регулярна в кожній точці області D, то вона називається регулярною в області D.

Означення. Ф-ія комплексної змінної наз. аналітичною в області D, якщо вона регулярна у всіх її точках,за винятком множини ізольованих точок, не порушуючих зв’язності області D.

Точки області D, в яких порушується регулярність аналітичної ф-ії (в яких ф-ія не має похідної або терпить розрив) називають особливими точками.

Клас аналітичних функцій достатньо широкий. Наприклад, усі елементарні функції, тригонометричні, гіперболічні, логарифмічні і еліптичні функції відносяться до класу аналітичних функцій.

Слідуюча теорема, котра доводиться аналогічно випадку функцій дійсної змінної.

Теорема. Якщо, є аналітична функція змінної z і кожному значенню w відповідоє лише одне значення z, то обернена функція є аналітичною функцією змінної w ( при всіх тих значеннях w і z, для котрих ) і її похідна визначається рівністю .

Іншими словами, похідна функції, оберненої даній, рівна величині, оберненої до похідної даної функції.

14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.

Т-ма Ролля:

Якщо ф-я f(x) є С неперервна на відрізку диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка приймає рівні значення, тоді принаймні одна точка С така, що (пох. в ній дор. 0).

1)

2)

3)

Доведення : За ІІ теоремою Вейєрштраса всяка неперервна ф-я приймає своє наближене значення.

І) m=M, , f(x)=C=const, f′(x)=0

II) m<M, f(a)=f(b)

Найб. і найм. знач. не можуть досягти у внутрішній точці С , тоді за Т. Ролля .

Серед усіх дотичних до кривої у=f(x) принаймні одна паралельна до Ох.

Т-ма Лагранжа: Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі (a,b), і тоді т. С таке, що має рівність .

1) f(x), х

2)

Звідси випливає, що .

.

Ця ф-я задов. всім вимогам умови Ролля:

1)

2^о)

3^о) , тоді за Т. Ролля

, ,

Якщо дотична паралельна до січної, що сполучає точку А і В.

Ф-ла Лагранжа застос. до будь-якого відрізка або для будь-якого

. , , ,

.(с-проміжна точка,

).

Теорема Коші. Якщо ф-я f(x) і φ(х) неперервні на відрізку , диференційовані в інтервалі (а,b) при чому φ^´(x)≠0, тоді існує принаймні одна т.C, така, що має місце рівність: .

1^о

2^о . Звідси випливає . Якщо покласти φ(x)=x, то .

Доведення: Введемо допоміжну ф-ю . Ця ф-я задовольняє всім вимогам теореми Ролля. Тоді за Т.Ролля , ,

.