19,20.Понятие наблюдаемости систем. Критерий наблюдаемости Калмана.

В более узком смысле под управляемостью можно понимать возможность перевода изображающей точки из любой области пространства Х в начало координат.

В случае неполностью наблюдаемой системы ее уравнение имеет вид:

(4)

Уравнение (4) отличается тем, что фазовые координаты группы x² не входит не в выражение для у и u, ни в первое уравнение, куда входит только координата x¹. группы координат x¹ относятся к ненаблюдаемым.

Калмон доказал. Что порядок 1 группы уравнений совпадает с рангом матрицы (5)

При система полностью наблюдаема, - неполностью наблюдаема, - подностью ненаблюдаема.

21.Структурные условия наблюдаемости.

В общем случае система может содержать 4 группы фазовых координат: х¹ – управляемая, но ненаблюдаемая, х² – управляемая и наблюдаемая, х³ – неуправляемая и ненаблюдаемая, х⁴ – неуправляемая, но наблюдаемая.

Для этого случая ДУ можно записать в общем виде :

Введем обозначение для базиса в виде векторов-столбцов:

Отметим, что вектора столбцы отличаются от рассмотренных выше одностолбцовых числовых матриц, поскольку в данном случае элементы векторов е и f также являются векторами. f=Te эквивалентно системе. матрица Т дБ невырожденной det(T)<>0.

Представим вектор х в обоих базисах:

,

Очевидны следующие равенства f=Te, , ,

Применяя итерацию транспонирования обеим частям равенства получим:

22.Понятие устойчивости по Ляпунову.

Пусть система управления описывается Нелин ДУ в форме Коши: (6)

Если в момент времени t=t0 задано начальное значение x_i0, то решение уравнения Мб представлено в виде . Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются коорднатами . Введем отклонение координат .

Система (6) для отклонений: (7)

где f_i - некоторая нелинейная функция.

Уравнение (7) называют уравнениями возмущенного движения. их тривиальное решение соответствует невозмущенному движению. - возмущение. Решение системы (7) для некоторых представляет собой возмущенное движение.

Невозмущенное движение (при Δxi= 0) называется устойчивым по отношению к переменным x_i, если при всяком заданном положительном числе A², как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число λ²(A²) так, что для любых возмущений, удовлетворяющих условию: , возмущенное движение будет для времени t>=T  удовлетворять неравенству: где: μi  коэффициенты, уравновешивающие размерности величин Δxi.

Если с течением времени lim Δxi --> 0, то система асимптотически устойчива.

23.Устойчивость систем в «большом», «малом» и «целом».

Изложенные теоремы Ляпунова относятся к устойчивости в малом, т.е. в малой окрестности данного состояния равновесия. Также надо иметь в виду, что они справедливы только для одного способа линеаризации разложения в степенные ряды, что соответствует замене кривой отрезком касательной.

К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, т.е. для исследования устойчивости в “большом” эти теоремы неприменимы.

Устойчивость системы при любых больших начальных отклонениях называется устойчивостью в целом.

Для исследования устойчивости систем общего вида используются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод.