27.Функция Ляпунова. Свойства функции Ляпунова.
Любую ф-цию V=V(x1,x2,..xn), тождественно обращающуюся в 0 при x1=0,x2=0,..xn=0 будем называть ф-цией Ляпунова, если в ней в качестве величин x1,x2,..xn взяты те отклонения переменных систем управления в переходном процессе x1=x(t),x2=x(t),..xn=x(t), в которых записываются уравнения
dx1/dt=X1(x1,x2,…,xn)..dxn/dt=Xn(x1,x2,…,xn) (1).
Производная
от функции Ляпунова по времени имеет
вид
Подставив
значения dxi/dt
из соответствующих уравнений (1) получим
или
.
Причем, согласно свойству Х1=Х2=..=Хn=0
при х1=х2=..=хn=0
функция W
также как функция V
тождественно обращается в0 при
х1=х2=..=хn=0
.
Поэтому к ней также применимо понятие знакопостоянства, знакоопределенности, знакопеременности. Т.о. для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были «-», т.е. лежали слева от мнимой оси плоскости корней.
Система б находится на границе устойчивости при наличии:
1. нулевого корня;2.пары чисто мнимых корней;3. бесконечного корня.
28. Теоремы второго метода Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем.
1. теорема об устойчивости нелинейных систем.
Если
при заданных в форме
уравнениях системы n-го
(1) порядка можно подобрать такую
знакоопределяющую ф-цию Ляпунова
V(x1,x2,..,xn),
чтобы ее производная по времени
W(x1,x2,..,xn)
тоже была знакоопределенной (или
знакопостоянной), но имела знак,
противоположный знаку V,
то данная система устойчива. При
знакоопределенной ф-ции W
будет иметь место асимптотическая
устойчивость.
2.теорема о неустойчивости нелинейных систем.
Т.к. предыдущая теорема дает только достаточное условие устойчивости и т.к. кроме области устойчивости, нелинейная система может иметь целый ряд особых областей, то может возникнуть потребность в отдельном определении области неустойчивости с помощью следующей теоремы:
Если при заданных в форме (1) уравнение системы n-го порядка производной W от какой-нибудь функции Ляпунова V окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат будет иметь знак, одинаковый со знаком W, то данная система неустойчива.
29. Восстановление переменных состояния систем. Определение идентификаторов состояния. Реализация обратных связей по переменным состояния часто затрудняется тем, что в реальных объектах часть переменных бывает недоступной для непосредственного измерения и пользования. Поэтому необходимо построить такое устройство, которое измеряло бы выходные переменные у и на основании этого вырабатывало бы сигналы, равные значениям переменных состояния или непосредственно требуемую функцию переменной состояния.
Построить
такие устройства, которые точно
вырабатывали бы переменные х можно лишь
в т.сл., если эти устройства будут
безинерционными. В больш-ве случаев,
когда используются инерционные
устройства, удается построить устройства,
решающие эту задачу приближенно, т.е.
вырабатывающие вместо х его оценки
.
Устройство для выработки переменных
состояния х на основе измерений доступных
переменных, называют наблюдениями или
оценивателями. Если последние вырабатывают
оценки (идентификатор), если число
выходных переменных yi,
достаточных для измерения, равно числу
переменных состояния n,
то устройство будет счетно-решающим
для системы алгебраических уравнений
yi=C1ix1+
C2ix2+…+
Cnixi,
i=1..n.
Система имеет решение, если определитель квадратной матрицы неравен 0. однако, в больш-ве случаев количество yi, меньше числа искомых переменных состояния. В этом случае, привлекается дополнительная информация в виде значений элементов матриц A,B,C и D, значений y(tk), предшествующей моменту времени t<tk значения производных по времени dy/dt и du/dt. При этом система измерений должна обладать памятью, т.е. наблюдатель дб динамическим