Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел

Если - натуральное число, свободное от квадратов, то - действительное квадратичное расширение кольца степени 2, его элементы имеют вид . Норма в определяется как . Множество обратимых элементов кольца состоит из бесконечного множества элементов - всех решений уравнения Пелля .

14. Линейный оператор. Действия над линейными операторами.

Оператор (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1. может применяться почленно к сумме аргументов:

;

2. скаляр (постоянную величину) можно выносить за знак оператора:

;

15. Ядро линейного оператора. Основные свойства.

Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A) :Ker(A) = {x e X : A(X) =0 } Ядро линейного оператора -линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается Def(A):   d = Def(A) = dim ( Ker(A) ) .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:

• сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:

• Def(A) + Rg(A) = n; 

• ранг оператора равен рангу его матрицы;

• ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

• столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

• Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

16. Образ линейного оператора. Основные свойства.

Образом линейного оператора

^

A

: Xn → Ym называется множество всех векторов y О Ym , представимых в виде y =

^

A

x , где x "пробегает" всю область определения оператора D М Xn (т.е. образ — это область значений оператора).

Образ оператора

^

A

будем обозначать Img

^

A

.

Таким образом

y О Img  ^ A ЬЮ $x О Xn:  ^ A x = y.

Теорема.

1. Образ линейного оператора

^

A

: Xn → Ym является линейным подпространством пространства Ym .

2. Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства Xn .

17. Ранг линейного оператора. Основные свойства.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается  Rg(A) = r = dim( Im(A) ).

Размерность образа Im A называется рангом rg A линейного оператора, а размерность его ядра называется дефектом def A линейного оператора.

Теорема о ранге и дефекте. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности dim V пространства V:

                                     rg A + def A = dim V

Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе e. Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых столбцов (строк) этой матрицы.