18. Матричная запись линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Выберем в пространстве V базис . Пусть  – произвольный элемент из V и  – разложение  по данному базису. Пусть А – линейный оператор из . Тогда А А . Полагая, что

                                   А                                   (7.1)

получим

А

Таким образом, если А  и элемент  имеет  координаты   , то

                                                                       (7.2)

Рассмотрим квадратную  матрицу А  с элементами :    Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе .

Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора А  используется, при заданном базисе , следующая матричная форма:  ,   причем,   если   ,   то   , где , , определяется с помощью соотношения (7.2), а элементы  матрицы А определяются по формулам (7.1).

Пусть  — линейное пространство над полем ,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где  — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где

19. Определение унитарного оператора. Критерий существования унитарного оператора в Евклидовом пространстве.

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

где U^∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. U сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве,

2. U — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. U сохраняет скалярное произведение, и

2. образ U — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а по-этому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество, даёт, что обратный оператор также ограничен. Очевидно, что U⁻¹ = U^∗.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если

где I единичный элемент.^[1]

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим.

• если оператор эрмитов, то оператор унитарен.