24. Изоморфизм групп.

Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения).

Первая теорема

Пусть — гомоморфизм групп, тогда:

1. Ядро φ — нормальная подгруппа в G;

2. Образ φ — подгруппа в H;

3. Образ φ изоморфен факторгруппе G / ker φ.

В частности, если гомоморфизм φ сюръективен (т.е. является эпиморфизмом), то группа H изоморфна факторгруппе G / ker φ.

Вторая теорема

Пусть G — группа, S — подгруппа в G, N — нормальная подгруппа в G, тогда:

1. Произведение — подгруппа в G;

2. Пересечение S ∩ N — нормальная подгруппа в S;

3. Факторгруппы и S / (S ∩ N) изоморфны.

Третья теорема

Пусть G — группа, N и K — нормальные подгруппы в G такие, что K ⊆ N, тогда:

1. N / K — нормальная подгруппа в G / K;

2. Факторгруппа факторгрупп (G / K) / (N / K) изоморфна факторгруппе G / N.

25. Разложение группы по подгруппе.

Пусть G= <G; ?> - некоторая группа, и H= <H; ?> - подгруппа группы G. С помощью подгруппы H на множестве G элементов группы G можно определить бинарное отношение : для любых двух элементов a и b из G

в том и только в том случае, если в H существует такой элемент h, что выполняется равенство

.

Теорема 1.1. Отношение является отношением эквивалентности на множестве G.

Доказательство. Для доказательства надо показать, что отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1) Рефлексивность. Так как нейтральный элемент группы e принадлежит H, то для любого элемента a из G и, следовательно, .

2) Симмметричность. Из следует существование в H такого элемента h, что . Отсюда получаем, что . Так как H - подгруппа, то h^-1 принадлежит H и, следовательно, .

3) Транзитивность. Пусть и . Это означает, что в H существуют такие элементы h₁ и h₂, что a = b ° h₁ и b = c ° h₂. Отсюда получаем, что a = b ° h₂ ° h₁. Так как H - подгруппа, то произведение h₂ ° h₁ принадлежит H и, следовательно, ac .

Известно, что любое отношение эквивалентности, заданное на некотором множестве, определяет разбиение этого множества на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Следовательно, и отношение , заданное на множестве G с помощью подгруппы H, определяет разбиение множества G на классы эквивалентности. Эти классы называют левыми смежными классами группы G по подгруппе H, а само разбиение называют левосторонним разложением G группы по подгруппе H.

Левый смежный класс группы G по подгруппе H, содержащий элемент a, обозначим aH. Из определения отношения следует, что каждый элемент смежного класса aH имеет вид a ° h, где .

Заметим, что одним из левых смежных классов является само множество H. Этим классом служит класс eH, порожденный нейтральным элементом e.

26. Циклические группы

В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ( ).

• Все циклические группы абелевы.

• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе  — со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.

  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.

• Каждая подгруппа циклической группы циклична.

• У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера

• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).

• Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.

  • Например, изоморфна , но не изоморфна .

• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или .

• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).

• Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов изоморфна .