29. Функции выбора. Нормальные функции выбора.

В практической ситуации выбора при некотором множестве альтернатив Ω лицо, принимающее решение, выбирая некоторую альтернативу, руководствуется своим личным представлением о лучших альтернативах. У разных лиц в одной и той же ситуации (при одном X) представление о лучших альтернативах может различаться, а следовательно, они могут выбирать разные альтернативы. При этом каждый из них может привести вполне рациональное обоснование сделанного выбора. Даже при выборе одних и тех же альтернатив разными лицами обоснования могут различаться. Таким образом, по известному выбору в конкретной ситуации вряд ли можно сказать что-либо определенное о тех причинах, которые побудили сделать именно данный выбор, а не другой, т. е. восстановить логику выбора. Рассмотрим несколько взаимосвязанных ситуаций выбора, в которых множества альтернатив X являются подмножеством Ω. Обозначим через С(Х) множество альтернатив, выделенных лицом, принимающим решение (ЛПР), из X, и установим связи между множествами С(X) при разных множествах X. Заметим, что выбор при этом осуществляет одно и то же ЛПР. Далее везде термин выбор из X будет использоваться для обозначения С(Х). Для формализации взаимной зависимости выборов С(Х) при взаимосвязанных ситуациях пользуются понятием функции выбора.

Функцией выбора Сназывается отображение, сопоставляющее каждому XͼΩ его подмножество С(X)ͼX.

Сопоставим произвольному бинарному отношению функцию выбора. Пусть наΩ задано бинарное отношение R. Рассмотрение всех пар элементов из Ω, для которых выполнено xRy, порождает на Ω две различные функции выбора:

,

.

Функции выбора С^R(Х) и C_R(X), порожденные бинарные отношением R, называются блокировкой и предпочтением соответственно.

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, будем сопоставлять бинарному отношению R функцию блокировки С^R и называть ее функцией выбора, порожденной отношением R. Такие функции называются также нормальными.

Функции выбора С^R(Х) и C_R(X) связаны соотношениями С^R = C_R^d, и C_R = , где R^d – отношение, двойственное к R.

Произвольная функция выбора С не обязательно совпадает с некоторой С^R.

Рассмотрим функцию выбора на Ω = {x, y}: C(x) = x, C(y) = Ø, C(x, y) = {x, y}.

Определим, существует ли бинарное отношение R на Ω такое, что С = С^R. Допустим, что R существует. т.к. С^R(x) = x, то верно, что xRx. Аналогично из C^R(y) = Ø получаем, что верно yRy. Но тогда неверно, что и, значит, y ͼ C^R(Ω). А это противоречит условию. Значит, неверно, что xRx.

Итак, каждому бинарному отношению R на Ω соответствует некоторая порожденная им функция выбора С^R на Ω; разным R могут соответствовать одинаковые С^R; функции выбора С, которые совпадают с С^R для какого-нибудь бинарного отношения <R, Ω>, называются нормальными; не все функции выбора нормальны.

Теорема: (Логические формы нормальных функций выбора)

Пусть задано некоторое бинарное отношение R на множестве альтернатив Ω такое, что С = С^R. Тогда ЛФВ (С) имеет следующий вид:

1) ,

2) ,

3) и .

Пример:

Ω={x1, x2, х3, x4, x5}. Отношение задано графом (см рис. 3). Построить ЛФВ(С).