30. Критериальное пространство. Бинарные отношения в критериальном пространстве.

Критериальное пространство.

Пусть альтернативы из множества Ω рассматриваются относительно некоторых свойств f₁,…,f_n.

Если свойство f – альтернативы может быть выражено числом, т.е. существует то такое свойство называют критерием, а значение φ(x) называют оценкой альтернативы x по критерию f.

Аспектом называют сложное свойство, которое агрегирует в себе другие свойства.

Если все свойства альтернатив f₁,…,f_n из множества Ω являются критериями, т.е. , то тем самым определено отображение так, что .

Считая, что множество Ω содержится в , пространство будем называть критериальным пространством. векторы в .

Бинарные отношения в критериальном пространстве.

1. Отношение Парето (P).

Пусть и векторы в . Тогда будем говорить, что P – отношение Парето, если и .

На рис. 1 изображены верхнее и нижнее сеченияотношенияР в точке :

Рис.1

Множеством Парето на называется множество

, т.е. .

Из определения множества следует, что содержит те и только те элементы x*, для которых .

Альтернативы, входящие в , обладают следующим свойством: множеству Парето (множеству недоминируемых альтернатив) принадлежат такие альтернативы, улучшение одного из свойств которых возможно только за счет ухудшения других свойств.

Множество недоминируемых альтернатив называется эффективной границей.

Эффективная граница для различных множеств альтернатив, характеризуемых с помощью двух критериев

Теорема:

Отношение Парето является отношением строгого порядка (антирефлексивным, асимметричным, транзитивным), инвариантным относительно сдвига и гомотетии, т.е.

Принцип Парето позволяет сузить класс возможных претендентов на решение и исключить из рассмотрения заведомо неконкурентоспособные варианты.

2. Отношение лексикографии. (L)

Пусть и векторы в . Тогда будем говорить, что L – отношение лексикографии, если или или … (см. рис.4)

Рис.4

Теорема:

Отношение лексикографии является отношением строгого линейного порядка на , инвариантным относительно сдвига и гомотетии, т.е.

В силу этой теоремы во множестве не может быть более одного элемента.

Пусть , но L – отношение линейного порядка, т.е. xLy или yLx, что противоречит условию мажоранты.

31. Методы многокритериальной оптимизации. Метод линейной свертки

Критериальное пространство.

Пусть альтернативы из множества Ω рассматриваются относительно некоторых свойств f₁,…,f_n.

Если свойство f – альтернативы может быть выражено числом, т.е. существует то такое свойство называют критерием, а значение φ(x) называют оценкой альтернативы x по критерию f.

Аспектом называют сложное свойство, которое агрегирует в себе другие свойства.

Если все свойства альтернатив f₁,…,f_n из множества Ω являются критериями, т.е. , то тем самым определено отображение так, что .

Считая, что множество Ω содержится в , пространство будем называть критериальным пространством. векторы в .

Пусть и рассматривается некоторая функция . Тогда отношение называется такое отношение, что .

Линейной сверткой называется линейная функция , где все – показатели относительной значимости критериев. Чем больше придается значение i-му критерию, тем большее значение должно быть выбрано. Значение коэффициентов устанавливается либо объективно (с помощью вычислений), либо субъективно (с помощью экспертного анализа).

Метод позволяет заменить векторный критерий оптимальности на скалярный, который затем требуется обычно максимизировать каким-либо методом одномерной оптимизации.

Методом линейной свертки называется принцип оптимальности в задаче принятия решения, который описывается функцией выбора:

.

Если для n = 2, линии уровня – прямые (при n = 3 поверхности уровня – плоскости). При увеличении константы в правой части равенства прямая перемещается параллельно «вверх» (в направлении градиента функции . Т.о., мы имеем целое семейство линий уровня и максимум функции достигается в точках, соответствующих точкам касания (но не пересечения) самой «верхней» линии уровня и множества Ω.

Метод линейной свертки имеет ограниченное применение по многим причинам, например, в силу того, что отсутствие выпуклости множества Ω влечет за собой ситуацию, когда (см. рис.5) заведомо выпадают из рассмотрения эффективные решения, лежащие на невыпуклых участках границы множества Ω.

Рис.5

Кроме того, линейная свертка корректна только тогда, когда все критерии попарно независимы по предпочтению. Независимость по предпочтению является одним из наиболее важных и часто используемых условий. Два критерия и независимы по предпочтениюот других критериев ,..., , если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по и , не зависят от фиксированных значений по другим критериям.

Приведем пример нарушения условия независимости по предпочтению — выбор дачи для летнего отдыха (табл. ниже). Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «Расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А

Линейная свертка основана на неявном постулате: ”низкая оценка по одному критерию может быть компенсирована высокой оценкой по другому”. Однако, этот постулат верен отнюдь не для всех моделей сравнительной оценки «качества». Простейший пример – ухудшение качества изображения телевизора не может быть компенсировано качеством его звука.