6. Кристаллографические индексы. Период идентичности. Угол между кристаллографическими направлениями

Для определения положения узлов, направлений и плоскостей в кристалле используется система индексов. Поместим начало системы координат в один из узлов (произвольный) решетки, а направления координатных осей выберем вдоль основных трансляций (рис.1.1). Тогда положение любого узла однозначно определяется тройкой чисел m, n и p, если за единицы измерения выбрать параметры решетки а, b, c. Для указания индексов узла используются двойные квадратные скобки [[m n p]].

В кристаллах интересуют направления, проходящие через узлы. Для этого выбирается прямая, которая проходит через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексами ближайшего к началу координат узла, который прямая пересекает. Индексы направления записывают в одинарные квадратные скобки [m n p].

Узлы пространственной решетки располагаются на группе равноудаленных плоскостей. Для определения таких групп используют индексы Миллера⁶. Процедура их введения заключается в следующем: определяются три отрезка А, B, C, которые отсекаются на осях каждой из плоскостей группы, в единицах кратных (или дробных) параметру решетки для каждой оси (рис.1.11); затем берут обратные величины и приводят их к общему знаменателю D. Целые числа и будут представлять индексы Миллера для группы равноудаленных плоскостей, они заключаются в круглые скобки (hkl). Если плоскость пересекает какую-нибудь ось в области отрицательных значений (например, ось а), то индексы Миллера такой плоскости записываются в виде .

Рис.1.11. К определению индексов Миллера

В гексагональной сингонии принято пользоваться системой координат из трех горизонтальных осей. Поэтому из четырех индексов (hkіl), используемых для обозначения плоскостей в гексагональной сингонии, третий не является независимым и определяется первыми двумя: . Часто им пренебрегают и вместо него ставят точку (h к. l).

Примеры обозначений некоторых направлений и плоскостей приведены на рис. 1.12 и рис. 1.13.

Рис.1.12. Примеры обозначения направлений

Определение межплоскостных расстояний является одной из важных задач кристаллографии. Расстояния определяются индексами плоскостей (hkl) и периодами кристаллической решетки.

Формулы для межплоскостного расстояния имеют следующий вид:

(1.3)

для кубической сингонии;

(1.4)

для тетрагональной сингонии;

(1.5)

для гексагональной сингонии.

Рис.1.13. Примеры обозначения плоскостей

Совокупность физически (или кристаллографически) эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками {hkl}, физически эквивалентных направлений – <mnp>. Так в кубической сингонии совокупность плоскостей куба {100} содержит шесть кристаллографически идентичных плоскостей: (100), ( 00), (010), (0 0), (001), (00 ). Если, например, с помощью различных операций симметрии повернуть решетку так, что на месте плоскостей (100) разместятся плоскости (001) или любые из других четырех групп плоскостей, то новое положение решетки совпадает с начальным. В этом и заключается кристаллографическая идентичность.

Важнейшим признаком кристаллографически идентичных плоскостей есть то, что они имеют одинаковое межплоскостное расстояние.

Периодом идентичности называют расстояние между ближайшими узлами вдоль определенной узловой прямой. В общем случае величина периода идентичности определяется как

(1.6)

Из этого выражения можно определить период идентичности для любого типа кристалла.

Угол между двумя направлениями и в общем случае определяется за формулой

. (1.7)

Расписав скалярное произведение через проекции, получим:

. (1.8)

В кубической сингонии это выражение для двух направлений и приобретает вид:

. (1.9)

Объем элементарной ячейки, построенной на векторах и определяется смешанным произведением:

. (1.10)

Получим выражения для объема элементарной ячейки любой сингонии. Для этого возведем в квадрат уравнение (1.10):

,

откуда

.

Воспользовавшись (1.7), получим из последнего равенства

. (1.11)