3.4.3 Погрішності засобів вимірювання та їх нормування

Різні види засобів вимірювань виконують різні функції, причому кожному з них приписуються деякі номінальні характеристики. Дійсні характеристики засобів вимірювань не збігаються з номінальними, що і визначає їх похибки.

Похибки засобів вимірювань представляють у формі абсолютних, відносних або наведених погрішностей.

Абсолютна погрішність міри дорівнює різниці між номінальним значенням міри та істинним значенням відтворюваної нею величини.

Абсолютна похибка вимірювального приладу дорівнює різниці між показанням приладу і дійсним значенням вимірюваної величини. Аналогічно визначається похибка ІВС при вимірюванні тієї чи іншої фізичної величини.

Похибка вимірювального перетворювача (ВП) знаходиться або для його входу, або для виходу. Абсолютна похибка вимірювального перетворювача по виходу дорівнює різниці між дійсним значенням величини на виході перетворювача, що відображає вимірювану величину, і значенням величини на виході, визначеним за істинним значення величини на вході за допомогою номінальної функції перетворення, Що приписана перетворювачу. Вказану похибка можна представити у вигляді

_ВИХ = y – f_НОМ(x),

де _ВИХ – абсолютна похибка ВП по виходу;

x – істинне значення величини на вході ВП;

y - істинне значення величини на виході ВП;

f_НОМ(x) – номінальна функція перетворення ВП.

Абсолютна похибка вимірювального перетворювача по входу визначається формулою

_ВХ = f ^-1_НОМ(x) - x,

де f_НОМ(x) – функція, обернена до номінальної функції перетворення ВП.

Щоб можна було порівняти по точності вимірювальні прилади з різними межами вимірювань, введено поняття приведеної похибки вимірювального приладу, під якою розуміють відношення абсолютної похибки приладу до нормуючого значення:

γ =/x_НМ.

Оскільки приведена погрішність є відносною, вона виражається у відсотках.

Нормуюче значення x_НМ приймається рівним:

• найбільшій з меж вимірювання, якщо нульова відмітка розташована на краю або поза діапазоном вимірювання;

• сумі модулів меж вимірювання, якщо нульова відмітка розташована всередині діапазону вимірювання;

• довжині шкали або її частини, що відповідає діапазону вимірювання, якщо шкала істотно нерівномірна (наприклад, у стрілочного омметра);

• номінальному значенню вимірюваної величини, якщо таке встановлено (наприклад, у частотоміра з діапазоном вимірювання 45-55 Гц номінальне значення встановлено 50 Гц);

• модулю різниці меж вимірювань, якщо прийнята шкала з умовним нулем (наприклад, для абсолютної температури).

При використанні засобів вимірювань на практиці їх метрологічні характеристики повинні бути відомі. Основні параметри, такі як межі вимірювання, параметри номінальної функції перетворення, ціна поділки шкали і т. п., вказуються у технічній документації на засоби вимірювань, а найбільш важливі з них наносяться на самі засоби вимірювань. У той же час відхилення параметрів засобів вимірювань від їх номінальних значений, які викликають похибки вимірювань, не можуть бути вказані однозначно, тому для них мають бути встановлені гранично допустимі значення. Нормування метрології) чеських характеристик засобів вимірювань і полягає встановлення меж для відхилень реальних значень параметрів засобів вимірювань від їх номінальних значеній. Зазначене нормування є гарантією взаємозамінності засобів вимірювань.

До числа найважливіших метрологічних характеристик засобів вимірювань відноситься погрішність. Нормування погрішностей засобів вимірювань необхідно для оцінювання похибки конкретного вимірювання і полягає в встановлений межі допустимої похибки, під якою розуміється найбільша (без урахування знака) похибка засобу вимірювання, при якій цей засіб може бути визнаний придатним до застосування.

В основі підходу до нормування похибок середовищі вимірювань лежать наступні положення:

• норми допустимих погріщностей повинні включати як систематичні, так і випадкові складові;

• порізно нормують усі властивості засобів вимірювання, що впливають на їх точність: окремо нормують основну погрішність, окремо – всі додаткові погрішності та інші властивості, від яких залежить точність вимірювань.

Таким чином, при нормуванні погрішностей засобів вимірювань визначають межі допустимих основної і всіх додаткових похибок, а також нормальні умови та допустимі відхилення від нормальних значень для всіх впливаючих величин.

З метою обмеження номенклатури засобів вимірювань та впорядкування вимог до них стандарт встановлює ряди меж допускаються погрішностей. Цій же меті служить встановлення класів точності засобів вимірювань.

Клас точності – узагальнена характеристика засобів вимірювання, яка визначається межами допустимих основної і додаткової погрішностей, а також іншими властивостями засобів вимірювання, що впливають на точність.

Межі допустимих основної і додаткової погрішностей виражають у формі приведених, відносних або абсолютних похибок в залежності від характеру зміни границь абсолютних похибок у межах вимірювання, а також умов застосування та призначення засобів вимірювання..

Границі допустимих похибок виражаються:

• у формі приведених погрішностей, якщо вказані границі незмінні (наприклад, для електромеханічний приладів);

• у формі відносних похибок, якщо вказані границі абсолютної похибки не можна вважати постійними (наприклад, при вимірюванні опору мостом постійного чи змінного струму);

• у формі абсолютних похибок, якщо похибку результатів вимірювання прийнято виражати в одиницях вимірюваної величини або поділках шкали (наприклад, похибки вимірювання маси, довжина, температури).

Залежно від характеру зміни границь погрішності в межах діапазону вимірювань границі допустимої абсолютної основної погрішності встановлюються за формулою

_Д = а (3.18)

або

_Д =  (а + bx), (3.19)

де x - значення вимірюваної величини на вході (виході) засобів вимірювань або число ділень, відлічених за шкалою; а і b - позитивні числа, не залежні від x.

Межі допустимої приведеної основної похибки, %, встановлюють за формулою

γ_Д = _Д·100/x_НМ =  р, (3.20)

де Δ_Д - межі допустимої абсолютної похибки, що встановлюються відповідно до (3.18); x_нм - нормуюче значення; р - позитивне число.

Межі допустимої відносної основної погрішності δ, %, встановлюють за формулою

δ_Д = Δ_Д·100/x =  q, (3.21)

якщо Δ_Д встановлено відповідно до (3.18), або за формулою

(3.22)

якщо Δ_Д встановлено відповідно до (3.19). Тут x_к – більший (за модулем) з діапазонів вимірювань, а с і d - додатні числа, що виражені у відсотках:

с = (b + a/x_K) 100%; d = (a/x_K)100%. (3.23)

Друга частина формули (3.22) отримана з першої її частини шляхом виконання наступних операцій: підстановки Δ_Д з (3.19), почленного діленню чисельника на знаменник, додавання у отриману суму членів +а/x_К та -а/x_К і відповідного групування.

З (3.22) витікає, що при х = х_к межа допустимої відносної погрішності має мінімальне значення рівне ±с.

Позитивні числа р, q, с, d в (3.18) - (3.23) вибираються з наступного ряду:

1.10ⁿ; 1,5.10ⁿ; 2.10ⁿ; 2,5.10ⁿ; 4.10ⁿ; 5.10ⁿ; 6.10ⁿ, n = 1, -1, -2 і так далі.

У обґрунтованих випадках межі основної погрішності встановлюють за складнішими формулами або у вигляді графіка або таблиці.

Залежно від способу нормування основної погрішності використовуються різні позначення класів точності.

Якщо нормується приведена або відносна погрішність відповідно до (3.20) або (3.21), то клас точності позначається одним числом, рівним межі допустимої погрішності, вираженій у відсотках, тобто p або q.

Для засобів вимірювань, межі допустимої основної похибки яких, виражені у формі відносних погрішностей відповідно до (3.22), класи точності позначають числами c і d, розділяючи їх косою рисою.

У разі нормування абсолютної погрішності класи точності позначають прописними буквами латинського алфавіту або римськими цифрами. При цьому класам точності, яким відповідають менші межі допустимих погрішностей, відповідають букви, що знаходяться ближче до початку алфавіту, або цифри, що означають менші числа.

Приклади позначення класів точності засобів вимірювань приведені в таблиці. 2.1.

Межі всіх додаткових погрішностей і інші властивості засобів вимірювань, що впливають на точність результатів вимірювань, також пов'язані з їх класом точності. Цей зв'язок встановлюється приватними стандартами на окремі види засобів вимірювань. При використанні засобів вимірювань слід враховувати, що

Таблиця 3.1 – Приклади позначення класів точності

Форма виразу погрішності	Номер формули для визначення границь допустимої основної погрішності	Границі допустимої основної погрішності	Позначення класів точності
			У документах	На засобах вимірювання
Приведена γД	(3.20): нормуюче значення в одиницях вимірюваної величини	 1,5	Клас точності 1,5	1,5
	(3.20): нормуюче значення – довжина шкали або її частини	 0,5	Клас точності 0,5	0,5 
Відносна δД	(3.21)	 0,5	Клас точності 0,5	0,5
	(3.22)	[0.02+0.01 	Клас точності 0,02/0.01	0.02/0.01
Абсолютна Д	(3.18) або (3.19)		Клас точності M	M

фактично межа допустимої додаткової похибки, визначається не тільки нормою на відповідну погрішність засобу вимірювань, але і значенням зовнішньої фізичної величини, що впливає на результат вимірювання.

Наступні два простих приклади показують, як можна визначити конкретні похибки вимірювань за відомими метрологічними параметрами приладів, що використовуються для вимірювання.

Приклад 3.4. Електромеханічним приладом із класом точності 1,0 і діапазоном 0…100 В проводять вимірювання напруги 40 В. Визначити відносну похибку такого вимірювання.

Розв’язок. Запишемо дані: x_НМ = 100 В, x = 40 В, γ_Д = 1 %.

Шукана найбільш можлива відносна похибка складає за (3.21):

Δ_МАХ =  _Д·100/x =  γ_Дx_НМ/x = 1.0100/40 =  2,5 %.

Тут здійснена підстановка _Д з формули (3.20).

Таким чином, для заданого класу точності відносна похибка збільшується при вимірюванні величин, значення яких менше верхньої границі вимірювання. Саме тому прилади для вимірювання слід вибирати так, щоби вимірювана величина була розташована в останньої третині його шкали. 

Приклад 3.5. Цифровим приладом з класом точності 0,02/0.01 і верхньою границею діапазону 100В проводять вимірювання напруги 40 В. Визначити відносну та абсолютну похибки такого вимірювання.

Розв’язок. Запишемо дані: x_К = 100 В, x = 40 В, с = 0,02%, d = 0,01%.

Друга з формул (3.23) дозволяє знайти адитивну абсолютну похибку

a = dx_K/100 = 0.01100/100 = 0.01 B.

Тепер можна знайти мультиплікативну помилку з першої формули (3.23):

b = c/100 - a/x_K = 0.02/100 - 0.01/100 = 10^-4.

Зараз знаходиться повна максимальна абсолютна похибка за формулою (3.22):

_МАХ =  [c + d(x_K/x – 1)] = {0.02 + 0.01(100/40 -1)] =  0.035 %.

Відмітимо, що як і раніше, похибка збільшується при зменшенні x, але не так суттєво. Зокрема, при x = x_K максимальна похибка складає величину с = 0,02 %. 

Найбільш загальні питання нормування метрологічних характеристик засобів вимірювань розглянуті в ГОСТ 8.009 - 84 ГСИ. Нормовані метрологічні характеристики засобів вимірювань». У стандарті дано визначення метрологічних характеристик засобів вимірювань, приведені комплекси характеристик, що рекомендуються для нормування, і сформульовані загальні положення по нормуванню і визначенню метрологічних характеристик. Вказаний стандарт передбачає можливість нормування або погрішності засобів вимірювань, або їх складових: систематичною і випадковою.

Загальні вимоги до нормованих метрологічних характеристик засобів вимірювань електричних і магнітних величин приведені в ГОСТ 22261-82.

Необхідно нормувати не тільки статичні, але і динамічні характеристики засобів вимірювань в тому випадку, коли вони здійснюють вплив на точність вимірювань. При цьому завдання нормування і загальний підхід до її рішення залишаються тими ж, що і при нормуванні погрішностей засобів вимірювань. Проте встановлення за аналогією із статичними погрішностями меж допустимих динамічних погрішностей, можливо тільки у тому випадку, коли вхідний сигнал завжди має одну і ту саму форму. Якщо форма вхідного сигналу може суттєво змінюватися, то необхідно нормувати не динамічну похибку, залежну від форми вхідного сигналу, а ті або інші динамічні характеристики засобу вимірювань: коефіцієнти диференціального рівняння, параметри передатної функції, частотні характеристики, імпульсну або перехідну характеристики. Ці завдання вирішуються відносно просто, якщо засіб вимірювань описується лінійним диференціальним рівнянням першого або другого порядку. Для диференціального рівняння першого порядку досить нормувати один параметр – постійну часу, а для диференціального рівняння другого порядку – два параметри (власну частоту і ступінь затухання).

У тому випадку, коли засіб вимірювання описується диференціальним рівнянням вищих порядків, нормування динамічних характеристик представляє собою достатньо складне завдання. При цьому зазвичай обмежуються нормуванням тільки окремих показників, що характеризують динамічні властивості засобу вимірювань, наприклад смуги частот пропускання сигналу або часу встановлення вихідної величини. Очевидно, що при такому підході вже неможливо оцінити динамічну похибку засобу вимірювань при конкретній формі вхідного сигналу.

Нормування динамічних характеристик засобів вимірювань, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями, є значно складнішим завданням, яке у кожному конкретному випадку вирішується з урахуванням характеру нелінійності і форми вхідного сигналу.