Виды решений систем линейных уравнений.
метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы D системы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду:
правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы
с помощью обратной матрицы. Обратная матрица существует для квадратной и невырожденной матрицы (определитель отличен от нуля).
Выпуклое множество и его особые точки.
Под множеством будем понимать сов-ть элементов любой природы, для которых задано правило принадлежности к данному множеству.
Точка х1 называется внутренней точкой множества M, если существует такая ε - окрестность данной точки, все точки которой принадлежат множеству M. Точка х2 называется внешней точкой множества M, если существует такая ε - окрестность данной точки, все точки которой не принадлежат множеству М. Точка х3 называется граничной точкой множества M, если в любой её ε - окрестности существуют точки как принадлежащие множеству M, так и не принадлежащие этому множеству.
Множество М называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству, оно содержит и отрезок их соединяющий.
Теорема о представлении.
Теорема 1. Любую точку отрезка можно представить в виде выпуклой комбинации его угловых точек:
–выпуклая
комбинация угловых точек А и В.
Поясним данную теорему с помощью рисунка. Имеется отрезок прямой [A,B]. Если λ1=1, то λ2=0, так как эти коэффициенты неотрицательные и их сумма равна 1, по условию выпуклой комбинации. В этом случае точка x будет
определять точку А. При уменьшении λ1 от 1 до 0, точка х будет перемещаться по отрезку от точки А до точки В. Когда λ1 станет равной 0 точка х совпадёт с точкой В. Таким образом, различные значения коэффициентов λ1 и λ2, удовлетворяющие условиям выпуклой комбинации, определяют конкретную точку заданного отрезка.
Теорема
2. Любую точку выпуклого замкнутого
ограниченного множества можно представить
в виде выпуклой комбинации его угловых
точек:
Теорема об экстремуме целевой функции.
Теорема. Целевая функция ЗЛП достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений; причем, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, она также достигает экстремума в любой выпуклой комбинации этих точек.
Теорема 2. О целевой функции задачи линейного программирования. Целевая функция ЗЛП принимает своё оптимальное значение в одной из угловых точек области допустимых значений переменных. Если целевая функция принимает своё оптимальное значение в нескольких угловых точках, то такое же значение она принимает и в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией данных угловых точек.