13. Спин и магнитный момент электрона

О. Штерн и В. Герлах в своих опытах обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, находящихся в s-состоянии в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В s-состоянии (момент импульса и магнитный момент электрона равны нулю), поэтому магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода, т.е. расщепления быть не должно. Для объяснения этого и других явлений Гаудсмит и Уленбек предположили, что электрон обладает собственным моментом импульса (вращается вокруг своей оси), который был назван спином (от английского слова spin – верчение, кручение). Для механического и магнитного собственных моментов электрона должно выполняться гиромагнитное отношение, однако, экспериментально было установлено, что это отношение в два раза больше , поэтому представление об электроне как о вращающемся шарике оказывается несостоятельным. Дальнейшие эксперименты показали, что спин - существенно квантовая величина, не имеющая классического аналога и являющаяся, подобно массе и заряду, внутренней характеристикой электрона и других элементарных частиц. Оказалось, что существование спина и его свойства вытекают из полученного П.Дираком релятивистского уравнения квантовой механики (аналога нерелятивистского уравнения Шредингера).

Величина собственного момента импульса микрочастицы определяется в квантовой механике с помощью спинового квантового числа s, которое часто называют «спином» и которое принимает целые 0,1,2,… или полуцелые , и т.д. значения. Спин электрона, протона, нейтрона , а спин фотона .

Как и орбитальный момент, собственный механический момент импульса микрочастицы определяется модулем

.

и проекцией на ось z

,

где - спиновое магнитное квантовое число, часто называемое проекцией спина. Спиновое квантовое число принимает 2s + 1 значений -s,-s + 1,…,0,1,…,s

Для электрона может принимать только два значения и характеризует возможные значения проекции на ось спина (собственного механического момента) электрона. Таким образом, электрон в атоме водорода характеризуется четырьмя квантовыми числами n, l, m и m_s (Таблица 2).

Таблица 2

Собственные значения орбитального и спинового моментов и их проекции на ось .

Поскольку гиромагнитное отношение для спина электрона равно не , то спиновый магнитный момент и его проекция на произвольную ось определяются как

, , при и .

Таким образом, проекция спинового магнитного момента электрона на ось z равна одному магнетону Бора. Различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитального квантового числа . Они приведены в таблице 3.

Таблица 3

Значение орбитального квантового числа	0	1	2	3	4
Символ соответствующего состояния электронов	s	p	d	f	g

И далее символы идут по алфавиту.

Принято говорить об s - состояниях (или s - электронах), - состояниях (или - электронах) и т.д. Значение главного квантового числа указывают перед символом состояния с данным . Например, электрон, имеющий главное квантовое число и , обозначают символом и т.д.

Все волновые функции, соответствующие - состояниям электрона в атоме водорода, сферически симметричны. Это означает, что вероятность обнаружить электрон на некотором расстоянии вблизи ядра зависит только от этого расстояния. В - состоянии ( ) волновая функция не зависит от углов  и .

Нормированные собственные -функции, отвечающие –состоянию (основному) и –состоянию:

,

,

где – первой боровский радиус

Вероятность того, что электрон находится в области, ограниченной эле

ментом объема , взятого в окрестности точки с координатами :

,

где – элемент объема в сферических координатах.

Вероятность найти электрон в атоме водорода, находящемся в –состоянии, в интервале одинакова по всем направлениям и определяется формулой , где –собственная нормированная радиальная волновая функция –состояния ( ), –элемент объема в виде сферического слоя радиусом и толщиной .

Плотность вероятности обнаружения электрона в сферическом слое между и можно представить в виде . Величину называют радиальной плотностью вероятности – произведение дает вероятность того, что электрон будет обнаружен на расстоянии от ядра между и .

.

.

Графики радиальной плотности вероятности , а также пред-

ставлены на Рис.20.

Рис.20 Зависимость радиальной плотности вероятности от расстояния до ядра

14. Принцип Паули.

В атоме не могут находиться два электрона с четырьмя одинаковыми квантовыми числами . Принцип Паули является следствием принципа неразличимости тождественных частиц. В состояниях с данным значением в атоме могут находиться не более электронов (таблица 4):

Таблица 4

	=0
	=0
	=1
	=0
	=1
	=2

По мере увеличения порядкового номера атома в соответствии с принципом Паули происходит последовательное строго определенное заполнение электронных уровней атома. Число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел : .

Максимальное число электронов , находящихся в состояниях, определяеых набором трех квантовых чисел : = 2

Максимальное число электронов , находящихся в состояниях, опре-

деляемых двумя квантовыми числами : =2(2 +1).

Максимальное число электронов , находящееся в состояниях, опреде-

ляемых данным главным квантовым числом n (таблица 5):

.

Таблица 5

Значение орбитального квантового числа	0	1	2	3	4
Символ соответствующего состояния электронов	s	p	d	f	g
Максимальное число электронов	2	6	10	14	18

Электроны атома с одинаковыми квантовыми числами , образуют оболочку.

В соответствии со значением оболочки обозначают большими буквами латинского алфавита следующим образом (таблица 6):

Таблица 6

Значение	1	2	3	4	5	6
Оболочка

Оболочки подразделяют на подооболочки, отличающиеся квантовым числом .

Подоболочки обозначают в виде , где цифра означает

квантовое число , т.е. принадлежность к соответствующей оболочке:

Возможные состояния электронов в атоме и их распределение по оболочкам и подоболочкам показаны в таблице 7, в которой вместо обозначений и использованы для наглядности знаки  и .

Таблица 7

Оболочка

K

L

M

Подоболочка ( )

1s

2s

2p

3s

3p

3d

m

0

0

+1

0

-1

0

+1

0

-1

+2

+1

0

-1

-2

ms





























Число электронов

2

2

6

2

6

10

Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам называют электронной конфигурацией. Она записывается следующим образом: число слева обозначает главное квантовое число или номер оболочки, латинская буква – значение орбитального квантового числа или подоболочки, а верхний индекс справа – число электронов в подоболочке (например, обозначению отвечает электрон с и ; означает, что таких электронов в атоме 2, и т.д.). Символическое обозначение электронной конфигурации одного из атомов означает, что в нем имеются два –электрона, два – , шесть –электронов и один –электрон.

Принцип Паули лежит в основе построения периодической системы элементов Менделеева. Поскольку любая система, в том числе атом, стремится занять состояние с наименьшенй энергией, то электроны последовательно заполняют K, L и M оболочки, начиная с Z = 1 (водород) до Z = 18 (аргон). Девятнадцатый электрон (в калии) должен был бы занять место в 3d подоболочке M оболочки, однако, в действительности, он занимает место в 4s подоболочке N оболочки. Это объясняется тем, что состояние n = 4, имеет меньшую энергию, чем состояние n = 3, . Подобные нарушения встречаются и при дальнейшем заполнении электронами энергетических уровней элементов периодической системы.