8.Волновая функция. Уравнение Шредингера

Де Бройль связал со свободно движущейся микрочастицей плоскую волну с

циклической частотой и длиной волны. Волна, движущаяся в положительном

направлении оси x, описывается функцией

,

где ивыражены через энергию и импульс микрочастицы , - мнимая единица.

Комплексную функцию называют волновой функцией или пси–функцией .

В квантовой механике невозможно точно определить положение микрочастицы в пространстве. Возможно лишь определение вероятности нахождения микрочастицы в некоторой области пространства. Другого способа описания движения объектов в микромире не существует. Поэтому для описания состояния частицы при таком вероятностном подходе используют не уравнение движения , а

комплексную волновую функцию .

Пси–функцию локализованного состояния выбирают так, чтобы она удовлетворяла условию нормировки , где интеграл берется по всему пространству, где находится частица или по той области, в которой отлична от нуля. Условие нормировки означает, что во всей области, где , частица находится с вероятностью равной 1. Пси–функцию, удовлетворяющую условию нормировки, называют нормированной.

Если известна волновая функция , то с ее помощью можно вычислить средние значения физических величин, характеризующих микрочастицу. Среднее значение координаты частицы ,

а среднее значение любой функции координат

,

где интегрирование ведется по всему пространству или интересующей нас области.

Уравнение Шредингера.

Это основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, играющее та-

кую же роль, как второй закон Ньютона в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

,

где - масса частицы, - оператор Лапласа ; - посто-

янная Планка; – потенциальная энергия силового поля, в котором дви-

жется частица, которой соответствует потенциальная энергии сидового поля.

Если силовое поле стационарно, то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера представляет собой произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а второй от времени.

,

где E – энергия микрочастицы. Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера, получим:

,

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Пси-функция должна удовлетворять стандартным условиям: быть конечной, однозначной и непрерывной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии . Их называют собственными значениями, а решениями уравнения Шредингера , при этих значениях энергии, - собственными функциями.

9. Решение уравнения Шредингера для движения частицы в одномерной бесконечной потенциальной яме.

Функция при x < 0 и ; при (Рис.16).

Рис.16 Бесконечно глубокая одномерная прямоугольная потенциальная яма

Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:

,

где - масса частицы, E – ее энергия. Введем обозначение , тогда

Движение при x < 0 и движение невозможно ( ), поэтому в этих областях . В силу непрерывности волновой функции . Решение уравнения имеет вид

и должно удовлетворять граничному условию , откуда =0. Второе граничное условие

выполняется при , откуда . Это означает, что уравнение Шредингера имеет решения только для значений энергии, удовлетворяющих условию

( ).

Соответствующие E_n собственные волновые функции частицы имеют вид:

,

, . Для определения A необходимо воспользоваться условием нормировки,

,

откуда окончательно

.

Г рафики волновых функций нескольких состояний показаны на Рис.17 пунктирными линиями, а функции плотности вероятности – сплошными.

Рис.17 Графики волновых функций и функций плотности вероятности

Плотность вероятности нахождения частицы на единице длины в том или ином месте внутри одномерной бесконечной прямоугольной потенциальной ямы:

,

а вероятность обнаружения микрочастицы между координатами х₁ и х₂ внутри потенциальной ямы:

Примеры решения задач. Во всех примерах рассматривается движение частицы (электрона) в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной , сокращенно – в потенциальной яме.

Задача 1. Электрон находится в потенциальной яме шириной . Вычислите вероятность того, что находясь в возбужденном состоянии (n=2), он будет обнаружен в средней трети ямы.

Решение. Вероятность обнаружить частицу в интервале определяется равенством

,

где - нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию. Возбужденному состоянию отвечает собственная функция

.

Тогда вероятность равна

.

Задача 2. Электрон находится в потенциальной яме шириной 1,4 нм. Определите энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй.

Решение. Энергия электрона массой , находящегося на п – ом энергети

ческом уровне в потенциальной яме шириной , определяется по формуле:

.

Энергия, излучаемая при переходе электрона с - го уровня на - й, равна

= 1,5410^–19 Дж = 1 эВ.

Задача 3. Частица находится в потенциальной яме. Найдите отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы в трех случаях: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Собственное значение энергии частицы , находящейся на -ом энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме, определяется выражением: . Здесь - ширина потенциальной яме.

.

Отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы имеет вид:

,

при : , при : при : .

Задача 4. Частица в потенциальном яме шириной находится в возбужденном состоянии. Определите, в каких точках интервала плотность

вероятности нахождения частицы максимальная и минимальна.

Решение. Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид: .

Возбужденному состоянию отвечает плотность вероятности:

.

Функция максимальна при , отсюда .

При : ; . При : ; . При : ; . , поэтому не удовлетворяет условию задачи. Функция минимальна при ; При : ; . При : ; . По условию , поэтому не является решением. Тогда плотность вероятности максимальна при и , а минимальна при .