Типовые звенья линейных систем (усилитель, апериодическое звено, интегрирующее звено, колебательное звено, звено запаздывания).
На основе изучения многих моделей систем, можно придти к выводу, что системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, несмотря на все их многообразие, обладают весьма ограниченным числом основных свойств. Эти свойства следующие:
способность системы к усилению (ослаблению) сигнала;
способность системы к накоплению (энергии, материи);
инерционность;
прогнозируемость;
колебательность;
устойчивость;
запаздывание.
Строгого доказательства, что этот список является исчерпывающим, на сегодня не существует, но, основываясь на опыте, можно утверждать, что это так. Добавление в список некоторых свойств, например способности системы неоднократно терять и приобретать устойчивость при изменении некоторого ее параметра, не приводит к принципиальным отличиям. Исключение каких-то свойств не позволяет получить исчерпывающий список, поскольку исключаемое свойство нельзя заменить некоторой комбинацией, выразить оставленными.
Перечисленные свойства линейных систем, за исключением прогнозируемости, безусловно, хорошо известны. Они расположены в списке по мере увеличения сложности, указанные ниже основываются на предыдущих свойствах.
О прогнозируемости следует сказать отдельно. Анализ линейных систем показал, что они в той или иной мере обладают свойством, позволяющим предсказывать их поведение на некоторый, пусть небольшой, промежуток времени. Это свойство обусловлено, в том числе и инерционностью системы, опирается на него, но, тем не менее, отличается настолько, что заслуживает отдельного названия и включения в список основных свойств линейной системы. Исходя из особенностей рассматриваемого свойства, его можно назвать прогнозируемостью.
Прогнозируемость системы определяется ее инерционностью и способом приложения к ней внешних воздействий. Прогнозируемость системы или звена может быть определена количественно. Не вдаваясь в подробности, уводящие от темы настоящей работы, можно сказать, что для систем с дробно-рациональной передаточной функцией прогнозируемость звена численно может быть определена как разность числа полюсов и числа нулей его передаточной функции.
В формальной, традиционной классификации, основанной на степени дифференциального уравнения звена, звено запаздывания выпадает из классификации, поскольку описывается не дифференциальным уравнением, или, если угодно, дифференциальным уравнением бесконечной степени. Поэтому включение его в традиционный набор типовых звеньев выглядит вынужденным, натужным. Но и отказаться от такого звена, естественно, невозможно. Положив в основу классификации звеньев не формальный признак, а объективно существующую, ограниченную совокупность основных свойств линейных систем, можно избежать и этого затруднения.
4. Типовые звенья линейных систем (усилитель, апериодическое звено, интегрирующее звено, колебательное звено, звено запаздывания).
Звенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то
есть W(0) = k ≠ 0, называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).
Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его передаточная функция W(s) = k . Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку изменение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1(t) (или дельта-функции δ (t) ) на выходе будет такой же сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равны h(t) = k (t > 0) и w(t) = k ⋅δ (t) .
Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k
раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала: A(ω) = k , φ (ω) = 0 .
Апериодическое звено
Одно
из самых часто встречающихся звеньев
–апериодическое,
которое описывается дифференциальным
уравнением 
и
имеет передаточную функцию W(s)
.
Здесь k
–
безразмерный коэффициент, а T
>
0
–постоянная, которая называется
постоянной
времени звена.
Постоянная времени – размернаявеличина,
она измеряется в секундах и характеризует
инерционность
объекта,
то есть скоростьего реакции на изменение
входного сигнала.
Переходная и весовая функция апериодического звена:
Колебательное звено
Колебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида
W(s)
знаменатель которой имеет
комплексно-сопряженные корни (то есть,
Как
известно из теории дифференциальных
уравнений, свободное движение такой
системы содержит гармонические
составляющие (синус, косинус), что дает
колебания выхода при изменении входного
сигнала.
Несложно
представить передаточную функцию
колебательного звена в форме 
где k
–
коэффициент, T
–
постоянная времени (в секундах),
𝜉
– параметр
затухания
( 0 <ξ < 1). Постоянная времени определяет инерционность объекта, чем она больше, тем медленнее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ , тем быстрее затухают колебания.
При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебания на выходе. Если ξ ≥ 1, модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то есть последовательное соединение двух апериодических звеньев.
Колебательное
звено относится к позиционным звеньям,
его статический коэффициент усиления
равен W(0)
=
k
.
Переходная и импульсная характеристики
отличаются выраженной колебательностью,
особенно при малых значениях параметра
затухания ξ
.
На следующих двух графиках синие линии
соответствуют ξ
= 0,5,
а красные – ξ
=0,25
.
Интегрирующее звено
Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной
сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении
воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.
Интегрирующее
звено описывается уравнением
которому соответствует передаточная функция
Решение
уравнения дает
Используя это решение для единичного
скачка ( x(t)
=
1
при t
≥
0
) при нулевых начальных условиях ( y(0)
=
0),
получаем линейно возрастающую переходную
характеристику:
h(t)
=
k
⋅
t
.
Для того, чтобы найти импульсную
характеристику,
вспомним, что интеграл от дельта функции
на любом интервале, включающем t
=
0
, равен 1. Поэтому w(t)
=
k
(при
t
≥
0
).
Представим себе трубу, через которую вентилятор прокачивает воздух. В начале трубы
установлен нагреватель, а температура воздуха измеряется датчиком в точке А.
Очевидно,
что при изменении температуры воздуха
датчик обнаружит это не сразу, а через
время τ
= L
/
v
,
где L
–
длина трубы (в метрах),
а v
–
скорость потока воздуха (в м/с).
В этом случае говорят, что в системе
есть транспортное запаздывание на
величину τ
(в
секундах).
Другой распространенный пример –
вычислительное запаздывание в компьютере.
Так называется время, которое необходимо
для расчета нового управляющего сигнала
после получения всех исходных данных.
Запаздывание в системе просто сдвигает
сигнал вправо на временной оси, не меняя
его формы. Математически это можно
записать в виде y(t)
=
x(t
−τ
)
. Изображение сигнала на выходе звена
запаздывания вычисляется по теореме
о смещении аргумента для
преобразования Лапласа:
