9. Частотные критерии устойчивости. Критерий Найквиста.

Этот критерий, разработанный в 1932 году американским ученым Г. Найквистом, дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи (Wгл(jw)) можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим структурную схему САУ в виде:

Передаточная функция замкнутой САУ выражается через W(s):

Ф

Пусть , где M(s) и Q(s) многочлены от S, причем степень многочлена M(s) - m меньше степени многочлена Q(s) - n. Тогда

Ф

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой системы, а Q(s) – характеристическим многочленом разомкнутой цепи этой системы. Степени этих многочленов равны.

10. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица. Критерий Вишнеградского.

Устойчивость системы по критерию Гурвица исследуется с помо­щью характеристического уравнения замкнутой системы вида: a_opⁿ +a₁p^n-1 +a₂p^n-2 +...+a_n-1p+a_n =0 (22)

Формулировка критерия Гурвица: система устойчива, если при а_о>0 определитель, составленный по определенному правилу из коэффициентов характеристического уравне­ния, и все его диагональные миноры больше нуля.

Определитель Гурвица составляется по следующему правилу: 1) По главной диагонали выписываются все коэффициенты харак­теристического уравнения начиная с а₁; 2) Места вверх от диагонали заполняются коэффициентами с воз­растающими индексами, а вниз - с убывающими; если такие коэффици­енты отсутствуют, ставят нуль.

Для получения диагональных миноров из определителя вычерки­вают нижние строки и крайние столбцы.

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0, где p1, p2, ..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai| < 0. Подставим их в уравнение:

a0(p + |a1|)(p + |a2| - j2)(p + |a2| + j2)... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим: a0(p + |a1|)((p + |a2|)2 + (2)2)... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a0,a1,...,an не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0, ... , an > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0 > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

11. Оценка качества системы. Запасы устойчивости.

«устойчивость» используется в численных методах, механике, экономике, социологии, психологии. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Шарик на рисунке находится в устойчивом равновесии в положении А – если немного сдвинуть его с места, он скатится обратно в ямку.

Однако мы можем заметить, что если шарик сильно отклонить от равновесия, он может свалиться через горку вбок, то есть устойчивость нарушится. В положениях Б и В шарик также находится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины.

В положениях Г и Д равновесие шарика нейтральное – при небольшом смещении он остается в новом положении. При этом говорят, что система нейтрально устойчива, то есть находится на границе устойчивости.

Можно показать, что система «шарик-горка» – нелинейная. Как мы увидели, для нее

• устойчивость – не свойство системы, а свойство некоторого положения равновесия;

• может быть несколько положений равновесия, из них некоторые – устойчивые, а некото

рые – нет;

• положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших («в большом»).