9.9. Прогнозування в множинній регресії. Матричне формулювання
У розд. 8 ми обговорювали, використовуючи скалярні позначення, як можна застосувати множинну регресію для середнього й індивідуального прогнозів залежної змінної Y при заданих значеннях регресорів Х. У цьому розділі ми покажемо, як виразити ці прогнозовані значення в матричному вигляді, та наведемо формули для дисперсій і стандартних похибок прогнозованих величин.
Середній прогноз
Хай
|
(9.9.1) |
зображає
вектор величин Х,
для яких ми хочемо отримати прогноз
,
тобто середній прогноз Y.
Оцінка множинної регресії в скалярному вигляді
|
(9.9.2) |
.У матричному вигляді ця рівність може бути записана більш компактно:
|
(9.9.3) |
,
де
,
.
Зрозуміло,
що рівняння (9.9.2) і (9.9.3) являють собою
прогноз для даного значення
.
Якщо
замінити в (9.9.2) (9.9.3)
на
,
то ми отримаємо
|
(9.9.4) |
.
Зазначимо,
що (9.9.4) дає незміщену оцінку прогнозу
,
оскільки
.
Індивідуальний прогноз
Як ми пам’ятаємо з розд. 5 і 8, індивідуальний прогноз Y, тобто Y0, також задається формулою (9.9.3) або (9.9.4). Тобто
|
(9.9.5) |
.Як ілюстративний приклад розглянемо випадок з (8.1.1). У матричному формулюванні середній і індивідуальний прогнози визначаються таким чином:
|
|
і
.Отже,
|
(9.9.6) |
|
(9.9.7) |
;
.
Дисперсія для середнього прогнозу
Формула
для оцінки дисперсії
має такий вигляд
|
(9.9.8) |
,
де
– дисперсія залишків
,
– вектор заданих величин Х,
у яких ми хочемо отримати прогноз, а
– матриця, визначена в (9.3.9), тобто
матриця, що застосовується для знаходження
коефіцієнтів регресії. Замінюючи
на її незміщену оцінку
,
можемо подати (9.9.8) у вигляді
|
(9.9.9) |
.Для ілюстративного прикладу з розд. 8 отримуємо такі значення:
|
|
,
.Використовуючи ці дані, за формулою (9.9.9) одержуємо
|
(9.9.10) |
і
|
(9.9.11) |
.Тепер, застосовуючи підхід із розд. 5 і 8, можна знайти 100(1–)%-й довірчий інтервал для середнього прогнозу при заданому Х0:
|
(9.9.12) |
.
Дисперсія для індивідуального прогнозу
Формула для обчислення дисперсії для індивідуального прогнозу має такий вигляд:
|
(9.9.13) |
,
де
.
Використовуючи наші дані, одержуємо
|
(9.9.14) |
і
|
(9.9.15) |
.
Якщо ми хочемо визначити 100(1–)%-й довірчий інтервал для індивідуального прогнозу, то можемо застосувати формулу (9.9.12), у якій стандартна похибка прогнозу визначається з (9.9.13). Очевидно, що стандартна похибка для індивідуального прогнозу більша, ніж для середнього.