4.4 Задачи на максимум и минимум

В практической деятельности часто приходится находить условия, при которых интересующая нас величина (прибыль, прочность, КПД и т.д.) будет максимальной или минимальной (например, величины: расход материалов, издержки, потребляемая мощность, пройденное расстояние и т. д.).

В качестве примеров рассмотрим следующие задачи.

Задача (метод наименьших квадратов). Пусть известно, что величина линейно зависит от величины :

.

Предположим, что мы должны определить значения параметров и с помощью экспериментального нахождения значений для различных значений . В результате измерений будет получена таблица вида

Таблица 4

			…
			…

Требуется найти такие значения параметров и , чтобы сумма квадратов абсолютных ошибок была минимальной.

Решение.

Используем необходимое условие экстремума

Решив данную систему, получим

, .

Из смысла задачи следует, что при таких и сумма квадратов абсолютных ошибок будет минимальной.

Задача (метод наименьших квадратов). Пусть известно, что величина линейно зависит от величины :

.

В результате измерений была получена таблица

Таблица 5

	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5
	2	5	4	8	9	11	15	15	20	19

Определить значения параметров и .

Построить на одном чертеже график линейной зависимости и точки, соответствующие экспериментальным данным.

Решение.

Используем формулы для параметров и :

, .

Вычисления выполним в табличной форме.

Таблица 6

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	32,5
	2	5	4	8	9	11	15	15	20	19	108
	1	2,25	4	6,25	9	12,25	16	20,25	25	30,25	126,25
	2	7,5	8	20	27	38,5	60	67,5	100	104,5	435

;

.

Таким образом, получаем линейную зависимость .

Построим на одном чертеже график линейной зависимости и точки, соответствующие экспериментальным данным.

Рисунок 31

Задача. Известно, что прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна величине , где ‑ ширина бруса, а ‑ его высота. Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно сделать из бревна радиусом

Решение.

1. Сделаем чертеж.

Рисунок 32

Из треугольника по теореме Пифагора имеем , , , .

Таким образом, получили задачу на условный экстремум: требуется найти максимум функции при ограничении .

2. Получим для данной задачи функцию Лагранжа

.

В данном случае будем иметь:

.

Используем необходимое условие для локального экстремума. Для этого решим систему

Из смысла задачи следует, что при , прочность балки будет максимальной.