2.8.2. Линейная интерполяция

Пусть имеется функция двух переменных , заданная таблично, а нам требуется найти ее значение при тех значениях аргументов и , которых нет в таблице. Если предположить, что функция является дифференцируемой, то тогда ее при небольших изменениях аргументов можно приближенно считать линейной.

Используем фрагмент таблицы, где находятся значения аргументов, между которыми находятся данные значения и .

Таблица 2

		…			…
	…	…	…	…	…
		…			…
		…		…	…
	…	…	…	…	…

Если считать, что при , данную функцию можно приближенно считать линейной, то тогда значения функции для промежуточных значений аргументов можно вычислять по формуле.

.

Задача. Пусть имеется таблично заданная функция двух переменных . Найти значение данной функции при и .

Таблица 3

		…			…
	…	…	…	…	…
		…			…
		…		…	…
	…	…	…	…	…

Решение.

Найдем в таблице соседние значения аргументов, между которыми находятся значения и . Получим значения , и , .

Применим формулу для линейной интерполяции

.

2.8.3 Оценка погрешностей результатов косвенных измерений

Понятие дифференциала функции нескольких переменных может применяться для оценки погрешностей косвенных измерений. Косвенным измерением называется вычисление значения некоторой величины по формуле, аргументами которой являются величины, полученные прямыми измерениями, то есть с помощью различных измерительных приборов: весов, рулетки, термометра и т. д.

Например, косвенное измерение объема конуса может быть проведено следующим образом: проводим прямые измерения высоты конуса и радиуса его основания с помощью линейки, а затем находим его объем по формуле .

Предположим, что нам известны погрешности прямых измерений, тогда возникает вопрос о погрешности косвенного измерения, то есть результата, вычисленного по формуле.

Схему оценивания погрешности косвенного измерения удобно рассмотреть на конкретном примере.

Задача. Измерение сопротивления резистора производится косвенным образом с помощью следующей схемы

Рисунок 22

Показания вольтметра и амперметра равны соответственно и .

Определить сопротивление резистора и оценить абсолютную погрешность полученной величины, если погрешности измерений приборов и соответственно.

Решение.

Найдем сопротивление резистора, используя закон Ома для участка цепи .

.

Оценим абсолютную погрешность полученной величины.

Значения напряжения и тока получены с помощью приборов с некоторыми погрешностями и . Очевидно, что изменение аргументов на величины и вызовет приращение величины равное , которое будет являться абсолютной погрешностью нахождения сопротивления . Так как функция является дифференцируемой, а приращения аргументов малы, то можно считать, что приращение функции примерно равно ее дифференциалу.

.

Оценим возможную погрешность по максимуму

Округлим получим результат до 1-2 значащих цифр. Получим .

Таким образом, мы получили, что .