1 Понятие функции нескольких переменных и ее предела

1.1 Определение функции нескольких переменных

Нам уже знакомо понятие функции одной переменной. Как известно, такие функции выражают зависимость одной величины от другой. Однако, абсолютное большинство величин самой разной природы зависят ни от одной, а от нескольких величин.

Примеры:

1) площадь прямоугольника зависит от двух величин – длин его сторон и :

;

2) сила тока в замкнутой цепи определяется ЭДС источника тока , его внутренним сопротивлением , а также сопротивлением внешнего участка цепи :

;

3) прибыль предприятия зависит от его дохода и издержек (полных затрат) :

.

Когда величина зависит от величин , ,…, , то часто говорят, что величина является функцией величин , ,…, .

Определение 1.1.1. Функцией действительных переменных будем называть закон, ставящий в соответствие каждому упорядоченному набору из действительных чисел , единственное действительное число .

Здесь: , ,…, ‑ независимые переменные или аргументы, ‑ зависимая переменная или функция, ‑ область определения данной функции.

Обозначение функции переменных: . Независимые переменные можно интерпретировать как координаты точки в пространстве : . В этом случае функцию нескольких переменных можно обозначить как . Если же рассматривать значения , ,…, как координаты радиус-вектора , то применяется обозначение .

Множество всех значений, которые функция может принимать, будем называть областью определения функции

.

Свойства функций переменных аналогичны свойствам функций двух переменных, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, только функции двух переменных .

1.2 Окрестности и области на плоскости

Определение 1.2.1. Окрестностью точки радиуса называется множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству .

Рисунок 1

Если же из окрестности исключить саму точку , то тогда мы получим проколотую окрестность точки радиуса .

Рисунок 2

Определение 1.2.2. Открытой областью на плоскости (Рисунок 3) называется множество точек плоскости, удовлетворяющее требованиям:

1) если точка принадлежит множеству , то можно указать окрестность этой точки, также принадлежащую множеству ;

2) ‑ связное множество, то есть любые две точки множества можно соединить ломаной линией, целиком принадлежащей множеству .

Рисунок 3

Определение 1.2.3. Замкнутой областью (Рисунок 4) будем называть открытую область вместе с ее границей.

Рисунок 4

Определение 1.2.4. Область называется ограниченной, если она является подмножеством некоторого круга.

1.3 Способы задания функций нескольких переменных

Аналитический способ (с помощью формулы)

Пример: .

Задача. Пусть дана функция . Найти:

1. ;

2. , где .

Решение.

1. Для нахождения значения , достаточно в формулу, задающую данную функцию, вместо переменой подставить значение , а вместо переменной ‑ значение .

Получим:

.

2. Для нахождения значения данной функции в точке , достаточно в формулу, задающую данную функцию, вместо переменой подставить значение , а вместо переменной ‑ значение .

Получим:

.

Если функция задана аналитически и ее область определения не указана, то за ее область определения принимается так называемая естественная область определения, то есть множество всех наборов значений аргументов, при которых данная формула имеет смысл.

Задача. Найти область определения функции .

Решение.

Формула, задающая функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Тогда решим неравенство

, , .

Полученное неравенство определяет замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом .

Рисунок 5

Задача. Найти область определения функции .

Решение.

Логарифм определен на множестве положительных чисел, поэтому для нахождения области определения данной функции нам достаточно решить неравенство . Оно эквивалентно совокупности двух систем

Записанная совокупность определяет первую и третью координатные четверти без границ.

Рисунок 6

Табличный способ

Кроме задания функций одной переменной данный способ практически всегда применяется только для функций двух переменных. В качестве примера рассмотрим фрагмент таблицы значений коэффициентов Стьюдента , которые широко применяются при статистической обработке экспериментальных данных.

Таблица 1

	…	0,4	0,5	0,6	…
…	…	…	…	…	…
12	…	0,540	0,697	0,876	…
13	…	0,539	0,695	0,873	…
14	…				…
…	…	…	…	…	…

Из приведенной таблицы легко установить, что, например, при числе опытов и для доверительной вероятности значение коэффициента Стьюдента будет равно .

Семейство линий и поверхностей уровня

Наглядно функции двух (трех) переменных задаются с помощью семейств линий (поверхностей) уровня. Последние будут рассмотрены в п. 1.4.