1.2.5. Простейшая модель ошибок построения вертикали в инерциальной системе
В общем случае (см. подраздел 4.2) для описания ошибок инерциальных навигационных систем используются линейные нестационарные уравнения высокого порядка с вектором состояния, включающим ошибки выработки координат, составляющих скорости, ошибки построения инерциального трехгранника, ошибки вертикали, ошибки ЧЭ и т.п. [4, 63]. Для приближенного описания ошибок нередко уравнения упрощают, что дает возможность исследовать поведение отдельных составляющих с помощью уравнений невысокого порядка. Например, для описания ошибок построения вертикали в восточном канале инерциальной навигационной системы могут быть использованы следующие уравнения [59, 62]:
где
,
– ошибка вертикали и восточной
составляющей скорости;
– радиус Земли;
– значение нормального ускорения силы
тяжести;
,
– ошибки гироскопов и акселерометров.
Такое
представление может быть получено в
пренебрежении связей между уравнениями,
описывающими ошибки северного и
восточного каналов ИНС [4].
Вводя
,
,
запишем:
(1.2.33)
, (1.2.34)
где
,
– ошибки гироскопов и акселерометров.
Поскольку
,
,
то, используя (1.1.20), (1.1.33), получаем:
;
,
где
– частота, соответствующая
периоду Шулера,
мин.
Характеристическое
уравнение для такой системы имеет два
комплексно-сопряженных корня
,
т.е. она является нейтрально устойчивой.
Нетрудно заметить, что (1.2.33) представляет
собой частный случай системы, рассмотренной
в примере 1.1.4.
Используя таблицы преобразований Лапласа, получаем выражение для фундаментальной матрицы
.
Исследуем
поведение системы (1.2.33), (1.2.34) во времени.
Представим
выход системы
в виде суммы свободного и вынужденного
движений, т. е.
.
С учетом введенных обозначений запишем:
(1.2.35)
. (1.2.36)
Входящие в уравнения (1.2.35), (1.2.36) составляющие удобно анализировать, когда по уровню вклад каждой из них одинаковый. Для этого необходимо, чтобы начальные значения удовлетворяли следующему условию:
.
В этом случае:
,
т.е. ошибки представляют собой синусоиды, сдвинутые друг относительно друга на 90. Графики этих функций приведены на рис. 1.2.5.
Рис. 1.2.5. Графики изменения ошибки вертикали и скорости при ненулевых начальных условиях и отсутствии входных воздействий
Вынужденные составляющие, обусловленные входными воздействиями, задаются как
;
.
Эти составляющие аналитически удобно записать, применяя преобразование Лапласа
.
(1.2.37)
Используя
(1.2.37), можно проанализировать влияние
различных по характеру воздействий на
поведение ошибок построения вертикали
и скорости. В частности, поскольку
постоянной величине k
соответствует изображение по Лапласу
в виде k/р,
при постоянных
входных воздействиях
и
будем иметь:
На основании этих соотношений и таблицы преобразований Лапласа П1.2 получим следующие выражения для ошибок вертикали и скорости:
; (1.2.38)
. (1.2.39)
Таким образом, можно оценить вклад постоянных ошибок гироскопов и акселерометров в ошибки определения вертикали и скорости. Заметим, что при анализе промежуточных результатов полезной оказывается проверка на совпадение размерностей. В данном случае имеем:
;
.
Для
того чтобы вклад двух слагаемых, входящих
в полученные выше выражения, был бы
одинаковым, необходимо выполнение
условия
.
Полагая это условие выполненным и
задаваясь, к примеру, величиной
,
получаем:
;
.
Графики изменения этих величин изображены на рис. 1.2.6.
Рис. 1.2.6. Графики изменения ошибок определения вертикали и скорости
при нулевых начальных условиях и постоянных входных воздействиях
Проведенный анализ показывает, что составляющие ошибок построения вертикали и скорости, обусловленные постоянными ошибками гироскопов и акселерометров, также представляют собой сдвинутые относительно друг друга на четверть периода шулеровские колебания с периодом Тш.
Принимая
во внимание, что при малых интервалах
времени (
)
,
,
вместо выражений (1.2.35)(1.2.38)
могут быть использованы следующие
приближенные соотношения:
;
;
; 
или
,
.
Нетрудно заметить, что на коротком интервале времени ошибки выработки навигационных параметров при нулевых начальных условиях можно описать с помощью приближенного уравнения
(1.2.39)
где
ошибки определения координаты.
Приведем приближенный анализ точности в целях определения вклада ошибок чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров) инерциальной навигационной системы в погрешность выработки основных навигационных параметров (НП) – координат и скорости. Так, полагая ошибки ЧЭ постоянными, нетрудно, например, получить результаты, представленные в таблицах и соответствующие различным уровням ошибок ЧЭ.
Т а б л и ц а 1.2.1