§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Лемма 4.4. Для того чтобы матрица А линейного оператора в некотором базисе пространства имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора f, причем диагональными элементами матрицы А являются собственные значения этого оператора.

►Пусть

– (4.55)

базис пространства , A – матрица оператора f в этом базисе. Тогда

{А – диагональная}

{(4.55) состоит из собственных векторов оператора а – его собственные значения}.◄

Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.

Теорема 4.13. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P, – линейное пространство над Р, – тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (4.55) пространства совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора f.

►Выберем в еще один базис

(4.56)

и обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (4.55) к базису (4.56). Матрица оператора f в этом базисе имеет вид . Тогда

{в существует базис (4.56) из собственных векторов оператора f }

{матрица оператора в базисе (4.56) диагональная} {А приводится к диагональному виду}.◄

Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.

Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду – матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.

Лемма 4.5.. Пусть – собственное значение кратности линейного оператора . Тогда .

►Предположим, что . Выберем в какой-либо базис и дополним его до базиса

(4.57)

пространства . В базисе (4.57) матрица А оператора f выглядит так

,

а ее характеристический многочлен (значит, и характеристический многочлен оператора f) имеет вид: , где –некоторый многочлен степени . Очевидно, – корень характеристического многочлена. Если – кратность , то , что противоречит условию.◄

Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие

, (4.58)

где – кратность корня характеристического уравнения матрицы А.

►Пусть – линейный оператор, построенный в теореме 4.13. На основании свойства 4º § 5 количество всех линейно независимых собственных векторов линейного оператора совпадает с суммой размерностей подпространств по всем собственным значениям . Если это количество линейно независимых собственных векторов обозначить через m, то

.

Тогда

{А приводится к диагональному виду} {в существует базис из собственных векторов оператора f} {любое характеристическое число является собственным значением и } : и : и .◄